Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 6439
2021-11-14 
Площади треугольников, образованных отрезками диагоналей трапеции и её основаниями, равны $S_{1}$ и $S_{2}$. Найдите площадь трапеции.
Решение:
Пусть $K$ - точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ трапеции $ABCD$ и $S_{\Delta BKC}=S_{1}$, $S_{\Delta AKD}=S_{2}$. Из подобия треугольников $BKC$ и $DKA$ следует, что
$\frac{CK}{AK}=\frac{\sqrt{S}_{1}}{\sqrt{S}_{2}},$
поэтому
$S_{\Delta ABK}=\frac{\sqrt{S}_{2}}{\sqrt{S}_{1}}\cdot S_{1}.$
Аналогично
$S_{\Delta DKC}=\frac{\sqrt{S}_{2}}{\sqrt{S}_{1}}\cdot S_{1}.$
Следовательно,
$S_{ABCD}=S_{1}+S_{2}+2S_{1}\cdot\frac{\sqrt{S}_{2}}{\sqrt{S}_{1}}=(\sqrt{S}_{1}+\sqrt{S}_{2})^{2}.$
Площади треугольников, образованных отрезками диагоналей трапеции и её основаниями, равны $S_{1}$ и $S_{2}$. Найдите площадь трапеции.
Решение:
Пусть $K$ - точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ трапеции $ABCD$ и $S_{\Delta BKC}=S_{1}$, $S_{\Delta AKD}=S_{2}$. Из подобия треугольников $BKC$ и $DKA$ следует, что
$\frac{CK}{AK}=\frac{\sqrt{S}_{1}}{\sqrt{S}_{2}},$
поэтому
$S_{\Delta ABK}=\frac{\sqrt{S}_{2}}{\sqrt{S}_{1}}\cdot S_{1}.$
Аналогично
$S_{\Delta DKC}=\frac{\sqrt{S}_{2}}{\sqrt{S}_{1}}\cdot S_{1}.$
Следовательно,
$S_{ABCD}=S_{1}+S_{2}+2S_{1}\cdot\frac{\sqrt{S}_{2}}{\sqrt{S}_{1}}=(\sqrt{S}_{1}+\sqrt{S}_{2})^{2}.$
