Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 643
2014-06-08 
Даны длины $a, b, c$ сторон треугольника, площадь которого $S$. Докажите, что имеет место соотношение. В каком случае имеет место равенство?
Решение:
По формуле Герона $S$ площадь треугольника равна
$S = \sqrt{\frac{a + b + c}{2} \cdot \frac{a + b - c}{2} \cdot \frac{a + c - b}{2} \cdot \frac{b + c - a}{2}}$
где все сомножители положительны. Поэтому для оценки произведения $(a + b - c)(a + c - b)(b + c - a)$ можно применить неравенство $\frac{x + y + z}{3} \geq \sqrt[3]{xyz}$, или $xyz \leq \frac{(x + y +z)^{3}}{27}$.
Положим $x = a + b – c; y = a + c - b; z = b + c – a$ и получим:
$4S = \sqrt{(a + b - c)(a + b - c)(a + c – b)(b + c - a)} \leq \sqrt{(a + b + c) \frac{(a + b + c)^{3}}{27}} = \frac{(a + b + c)^{2}}{3 \sqrt{3}} = \frac{3a^{2} + 3b^{2} + 3c^{2} – (a - b)^{2} – (b - c)^{2} – (c - a)^{2}}{3 \sqrt{3}} \leq \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{\sqrt{3}}$,
причем знак равенства достигается при $a = b = c$. Что и требовалось доказать.
Даны длины $a, b, c$ сторон треугольника, площадь которого $S$. Докажите, что имеет место соотношение. В каком случае имеет место равенство?
Решение:
По формуле Герона $S$ площадь треугольника равна
$S = \sqrt{\frac{a + b + c}{2} \cdot \frac{a + b - c}{2} \cdot \frac{a + c - b}{2} \cdot \frac{b + c - a}{2}}$
где все сомножители положительны. Поэтому для оценки произведения $(a + b - c)(a + c - b)(b + c - a)$ можно применить неравенство $\frac{x + y + z}{3} \geq \sqrt[3]{xyz}$, или $xyz \leq \frac{(x + y +z)^{3}}{27}$.
Положим $x = a + b – c; y = a + c - b; z = b + c – a$ и получим:
$4S = \sqrt{(a + b - c)(a + b - c)(a + c – b)(b + c - a)} \leq \sqrt{(a + b + c) \frac{(a + b + c)^{3}}{27}} = \frac{(a + b + c)^{2}}{3 \sqrt{3}} = \frac{3a^{2} + 3b^{2} + 3c^{2} – (a - b)^{2} – (b - c)^{2} – (c - a)^{2}}{3 \sqrt{3}} \leq \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{\sqrt{3}}$,
причем знак равенства достигается при $a = b = c$. Что и требовалось доказать.
