Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 642
2014-06-08 
Решить систему уравнений:
$ \begin{cases}
x+y+z = a,&\\
x^{2}+y^{2}+z^{2} = b^{2},&\\
xy = z^{2},&,
\end{cases}
$
в которой $a$ и $b$ - данные числа. Каким условиям должны удовлетворять $a$ и $b$, чтобы решения системы были положительны и различны?
Решение:
$ \begin{cases}
x + y + z = a,& (1)\\
x^{2}+ y^{2} + z^{2}= b^{2},& (2)\\
xy = z_{2},& (3)
\end{cases}
$
Из соотношений (2) и (3) получаем, что
$(x + y)^{2} = b^{2} + z^{2}$,
а из (1) следует, что $(x + y)^{2} = (a - z)^{2}$, откуда $a^{2} – 2az = b^{2}$, т. е.
$z = \frac{a^{2} – b^{2}}{2a}$. (4)
Подставив (4) в (1) и (3), получим
$x + y = \frac{a^{2} + b^{2}}{2a}$;
$xy = \frac{(a^{2} – b^{2})^{2}}{4a^{2}}$, (5)
откуда _
$x_{1,2} = \frac{a^{2} + b^{2}}{4a} \pm \frac{\sqrt{10a^{2}b^{2} – 3a^{4} – 3b^{4}}}{4a}$;
$y_{1,2} = \frac{a^{2} + b^{2}}{4a} \mp \frac{\sqrt{10a^{2}b^{2} – 3a^{4} – 3b^{4}}}{4a}$;
$z_{1,2} = \frac{a^{2} – b^{2}}{2a}$.
Исследование. Чтобы корни были положительны, необходимо $x + y = \frac{a^{2} + b^{2}}{2a} > 0$, откуда $a > 0$. Корни (5) будут действительные и различны, когда подкоренное выражение $D = (a^{2} + b^{2})^{2} – 4(a^{2} – b^{2})^{2} = 10 a^{2}b^{2} – 3a^{4} – 3b^{4} > 0$. Решая это квадратное неравенство, находим необходимое условие $\frac{1}{\sqrt{3}} < \frac{a}{|a|} < \sqrt{3}$. Значения $x$ и $y$ при этом автоматически оказываются положительными, так как $D < (a^{2} + b^{2})^{2}$. Из выражения (4) для $z$ вытекает, что $z$ - положительно при $a > 0$, когда $a^{2} > b^{2}$. Таким образом, величина $a$ должна изменяться $|b| < a < |b| \sqrt{3}$.
Решить систему уравнений:
$ \begin{cases}
x+y+z = a,&\\
x^{2}+y^{2}+z^{2} = b^{2},&\\
xy = z^{2},&,
\end{cases}
$
в которой $a$ и $b$ - данные числа. Каким условиям должны удовлетворять $a$ и $b$, чтобы решения системы были положительны и различны?
Решение:
$ \begin{cases}
x + y + z = a,& (1)\\
x^{2}+ y^{2} + z^{2}= b^{2},& (2)\\
xy = z_{2},& (3)
\end{cases}
$
Из соотношений (2) и (3) получаем, что
$(x + y)^{2} = b^{2} + z^{2}$,
а из (1) следует, что $(x + y)^{2} = (a - z)^{2}$, откуда $a^{2} – 2az = b^{2}$, т. е.
$z = \frac{a^{2} – b^{2}}{2a}$. (4)
Подставив (4) в (1) и (3), получим
$x + y = \frac{a^{2} + b^{2}}{2a}$;
$xy = \frac{(a^{2} – b^{2})^{2}}{4a^{2}}$, (5)
откуда _
$x_{1,2} = \frac{a^{2} + b^{2}}{4a} \pm \frac{\sqrt{10a^{2}b^{2} – 3a^{4} – 3b^{4}}}{4a}$;
$y_{1,2} = \frac{a^{2} + b^{2}}{4a} \mp \frac{\sqrt{10a^{2}b^{2} – 3a^{4} – 3b^{4}}}{4a}$;
$z_{1,2} = \frac{a^{2} – b^{2}}{2a}$.
Исследование. Чтобы корни были положительны, необходимо $x + y = \frac{a^{2} + b^{2}}{2a} > 0$, откуда $a > 0$. Корни (5) будут действительные и различны, когда подкоренное выражение $D = (a^{2} + b^{2})^{2} – 4(a^{2} – b^{2})^{2} = 10 a^{2}b^{2} – 3a^{4} – 3b^{4} > 0$. Решая это квадратное неравенство, находим необходимое условие $\frac{1}{\sqrt{3}} < \frac{a}{|a|} < \sqrt{3}$. Значения $x$ и $y$ при этом автоматически оказываются положительными, так как $D < (a^{2} + b^{2})^{2}$. Из выражения (4) для $z$ вытекает, что $z$ - положительно при $a > 0$, когда $a^{2} > b^{2}$. Таким образом, величина $a$ должна изменяться $|b| < a < |b| \sqrt{3}$.
