2014-06-08
В прямой круговой конус вписан шар. Около этого шара описан прямой круговой цилиндр, основание которого лежит в плоскости основания данного конуса. $V_{1}$ - объем конуса и $V_{2}$ - объем цилиндра.
а) Докажите, что равенство $V_{1} = V_{2}$ невозможно.
б) Укажите наименьшее значение $k$, при котором имеет место равенство $V_{1} = kV_{2}$, и постройте для этого случая угол при вершине осевого сечения конуса.
Решение:
(Рис.) Пусть $2 \alpha$ - угол при вершине сечения конуса и $r$ - радиус вписанного в конус шара, тогда объем конуса:
$V_{к} = \frac{\pi ha^{2}}{3}$, (1)
где $a = |DC|$ и $h = |BD|$, но $|BD| = |BO| + |OD| = \frac{r}{\sin \alpha} + r = \frac{r(1 + \sin \alpha)}{\sin \alpha}, |DC| = \frac{r(1 + \sin \alpha)}{\sin \alpha} tg \: \alpha$.
Подставив найденные значения в формулу (1), получим:
$V_{к} = \frac{\pi r^{3}(1 + \sin \alpha)^{2}}{3 \sin \alpha \cdot \cos^{2} \alpha} = \frac{\pi r^{2}(1 + \sin \alpha)^{2}}{3 \sin \alpha (1 - \sin \alpha)}$. (2)
Объем цилиндра, описанного вокруг шара радиуса $r$, равен
$V_{ц} = 2 \pi r^{3}$ (3)
(высота цилиндра равна $2r$).
Пусть $\frac{V_{к}}{V_{ц}} = k$, тогда $k = \frac{(1 + \sin \alpha)^{2}}{6 \sin \alpha (1 - \sin \alpha)}$.
Теперь, наоборот, выразим $\sin \alpha$ через $k$. Получаем квадратное уравнение
$(1 + 6k) \sin^{2} \alpha + 2 (1 – 3k) \sin \alpha + 1 = 0$. (4)
Оно имеет действительные корни тогда и только тогда, когда $D = (1 – 3k)^{2} - (1 + 6k) \geq 0$.
Таким образом, $k \geq \frac{4}{3}$ и, следовательно, равенство $V_{к} = V_{ц}$ места не имеет.
При $k = \frac{4}{3}$ получаем $\sin \alpha = \frac{1}{3}$ и $|OB| = 3r$.
Угол $\alpha$ строится как угол прямоугольного треугольника с противолежащим катетом, втрое меньшим гипотенузы.