Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 640
2014-06-08 
Дана равнобочная трапеция с основаниями $a$ и $b$ и высотой $h$.
а) На оси симметрии трапеции построить точку $P$, из которой обе боковые стороны трапеции видны под прямыми углами.
б) Определите расстояние точки $P$ от одного из оснований трапеции.
в) При каких условиях возможно построение точки $P$ (рассмотрите возможные случаи)?
Решение:
(Рис.) а) Анализ. Предположим, задача решена. Тогда $CB$ виден из точки $P$ под прямым углом. Значит, точка $P$ лежит на окружности диаметра $CB$.
Построение. На $CB$, как на диаметре, описываем полуокружность. $P_{1}$ и $P_{2}$ - точки ее пересечения с осью $EF$. Через эти точки пройдет и полуокружность, построенная на $AO$ (это следует из того, что $EF$ -ось симметрии трапеции).
Заметим, что $P_{1}$ и $P_{2}$ обязательно лежат внутри отрезка $EF$.
б) $|EP_{1}| = x, |FP_{1}| = h – x, \hat{1} = \hat{2}$ - как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. $\hat{E} = \hat{F} = \frac{\pi}{2}, \triangle EP_{1}C \thicksim \triangle FP_{1}B$,
$\frac{|EP_{1}|}{|FB|} = \frac{|EC|}{|P_{1}F|}, \frac{x}{\frac{a}{2}} = \frac{\frac{b}{2}}{h - x}; hx – x^{2} = \frac{ab}{4}; x^{2} – hx + \frac{ab}{4} = 0$;
$x = \frac{h}{2} \pm \frac{1}{2} \sqrt{h^{2} - ab}$.
в) Если $h^{2} > ab$, задача имеет два решения, окружность пересекает ось симметрии трапеции в двух точках.
В случае $h^{2} = ab$ задача имеет одно решение. Окружность касается оси симметрии.
Если $h^{2} < ab$, то задача не имеет решений. Окружность не пересекает оси симметрии.
Решение возможно при $h^{2} \geq ab$.
Дана равнобочная трапеция с основаниями $a$ и $b$ и высотой $h$.
а) На оси симметрии трапеции построить точку $P$, из которой обе боковые стороны трапеции видны под прямыми углами.
б) Определите расстояние точки $P$ от одного из оснований трапеции.
в) При каких условиях возможно построение точки $P$ (рассмотрите возможные случаи)?
Решение:
(Рис.) а) Анализ. Предположим, задача решена. Тогда $CB$ виден из точки $P$ под прямым углом. Значит, точка $P$ лежит на окружности диаметра $CB$.
Построение. На $CB$, как на диаметре, описываем полуокружность. $P_{1}$ и $P_{2}$ - точки ее пересечения с осью $EF$. Через эти точки пройдет и полуокружность, построенная на $AO$ (это следует из того, что $EF$ -ось симметрии трапеции).
Заметим, что $P_{1}$ и $P_{2}$ обязательно лежат внутри отрезка $EF$.
б) $|EP_{1}| = x, |FP_{1}| = h – x, \hat{1} = \hat{2}$ - как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. $\hat{E} = \hat{F} = \frac{\pi}{2}, \triangle EP_{1}C \thicksim \triangle FP_{1}B$,
$\frac{|EP_{1}|}{|FB|} = \frac{|EC|}{|P_{1}F|}, \frac{x}{\frac{a}{2}} = \frac{\frac{b}{2}}{h - x}; hx – x^{2} = \frac{ab}{4}; x^{2} – hx + \frac{ab}{4} = 0$;
$x = \frac{h}{2} \pm \frac{1}{2} \sqrt{h^{2} - ab}$.
в) Если $h^{2} > ab$, задача имеет два решения, окружность пересекает ось симметрии трапеции в двух точках.
В случае $h^{2} = ab$ задача имеет одно решение. Окружность касается оси симметрии.
Если $h^{2} < ab$, то задача не имеет решений. Окружность не пересекает оси симметрии.
Решение возможно при $h^{2} \geq ab$.
