ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2014-06-08   
Дан прямоугольный треугольник $ABC$, гипотенуза которого равна $a$ и разделена на $n$ равных частей ($n$ - нечетное число). Пусть $\alpha$ есть угол, под которым виден из точки $A$ тот из равных между собою отрезков, который содержит середину гипотенузы. Докажите, что $tg \: \alpha = \frac{4nh}{(n^{2} - 1)a}$, где $h$-высота треугольника.


Решение:



Пусть $|DE| = \frac{a}{n}$ и $|BH| = x$, тогда (рис.)
$x \cdot (a - x) = h^{2}$, (1)
и пусть $\hat{HAD} = \beta$ и $\hat{DAE} = \alpha$, тогда $\hat{EAH} = \alpha + \beta$. Заметим, что
$tg \: (\alpha + \beta) = \frac{tg \: \alpha + tg \: \beta}{1 – tg \: \alpha \cdot tg \: \beta}$. (2)
Из прямоугольного треугольника $AHE tg \: (\alpha + \beta) = \frac{|HE|}{|AH|}$. Но $|HE| = |HD| + |DE|, |HD| = |BD| - |BH|$, a $|BD| = \frac{n - 1}{2n} a$.
Откуда $|HE| = \frac{n+1}{2n}a – x$, а $|HD| = \frac{n - 1}{2n}a – x$.
Поэтому
$tg \: (\alpha + \beta) = \frac{|HE|}{|AH|} = \frac{\frac{n+1}{2n}a - x}{h}, tg \: \beta = \frac{\frac{n-1}{2n}a - x}{h}$.
Подставив эти выражения в (2), получим
$\frac{\frac{n+1}{2n}a - x}{h} = \frac{tg \: \alpha + \frac{\frac{n - 1}{2n}a - x}{h}}{1 - \frac{\frac{n-1}{2n}a - x}{h} tg \: \alpha}$,
откуда
$tg \: \alpha \left ( \frac{\left ( \frac{n+1}{2n}a - x \right ) \left ( \frac{n-1}{2n}a - x \right ) }{h} + h \right ) = - \frac{n - 1}{2n}a + x + \frac{n+1}{2n}a - x$;
$\frac{a}{n} = \frac{h^{2} + \frac{n^{2} - 1}{4n^{2}}a^{2} – ax + x^{2}}{h} tg \: \alpha$,
но в силу (1) $x^{2} – ax = - h^{2}$, поэтому
$tg \: \alpha = \frac{ah \cdot 4n^{2}}{n(n^{2} - 1) a^{2}} = \frac{4nh}{a(n^{2} - 1)}$.