Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 636
2014-06-08 
Для каких действительных значений $x$ справедливо неравенство
$\frac{4x^{2}}{(1 - \sqrt{1+2x})^{2}} < 2x + 9$?
Решение:
Рассмотрим функцию
$f(x) = \frac{4x^{2}}{(1 - \sqrt{1 + 2x})^{2}}$.
$f(x)$ определена для $x \geq - \frac{1}{2}$ и $x \neq 0$. Умножим числитель и знаменатель на $(1 + \sqrt{1 + 2x})^{2} \neq 0$, тогда
$f(x) = \frac{4x^{2}(1 + \sqrt{1 + 2x})^{2}}{(1 – 1 – 2x)^{2}} = (1 + \sqrt{1 + 2x})^{2}$.
Теперь заданное неравенство имеет вид:
$(1 + \sqrt{1 + 2x})^{2} < 2x + 9$, или $2 \sqrt{1 + 2x} < 7$.
При $x \geq - \frac{1}{2}$ возведем в квадрат обе части неравенства с положительными членами, тогда получим при $x \geq - \frac{1}{2}$ равносильное неравенство $4 + 8x < 49$, т. е. $- \frac{1}{2} \leq x < 5 \frac{5}{8}$, кроме $x = 0$.
Для каких действительных значений $x$ справедливо неравенство
$\frac{4x^{2}}{(1 - \sqrt{1+2x})^{2}} < 2x + 9$?
Решение:
Рассмотрим функцию
$f(x) = \frac{4x^{2}}{(1 - \sqrt{1 + 2x})^{2}}$.
$f(x)$ определена для $x \geq - \frac{1}{2}$ и $x \neq 0$. Умножим числитель и знаменатель на $(1 + \sqrt{1 + 2x})^{2} \neq 0$, тогда
$f(x) = \frac{4x^{2}(1 + \sqrt{1 + 2x})^{2}}{(1 – 1 – 2x)^{2}} = (1 + \sqrt{1 + 2x})^{2}$.
Теперь заданное неравенство имеет вид:
$(1 + \sqrt{1 + 2x})^{2} < 2x + 9$, или $2 \sqrt{1 + 2x} < 7$.
При $x \geq - \frac{1}{2}$ возведем в квадрат обе части неравенства с положительными членами, тогда получим при $x \geq - \frac{1}{2}$ равносильное неравенство $4 + 8x < 49$, т. е. $- \frac{1}{2} \leq x < 5 \frac{5}{8}$, кроме $x = 0$.
