Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 635
2014-06-08 
Определите все трехзначные числа, которые при делении на 11 дают в частном число, равное сумме квадратов цифр исходного числа.
Решение:
Пусть $N$ - искомое трехзначное число, тогда $N = a \cdot 10^{2} + b \cdot 10 + c$, где $0 \leq a, b, c \leq 9$. Преобразуем
$N = 99a + 11b + a – b + c$. (1)
Чтобы $N$ делилось на 11, необходимо и достаточно, чтобы $a – b + c$ делилось на 11, т.е.
$a – b + c = k \cdot 11$. (2)
Поскольку $- 9 \leq a – b + c \leq 18$, то или $k = 0$, или $k = 1$. По условию $100a + 10b + c = 11 \cdot (a^{2} + b^{2} + c^{2})$.
I случай.
$ \begin{cases}
99a + 11b + a – b + c = 11 \cdot (a^{2} + b^{2} + c^{2})&\\
a – b + c = 0.&
\end{cases}$
Упростим эту систему:
$ \begin{cases}
9a + b = a^{2} + b^{2} + c^{2}&\\
b = a + c.&
\end{cases}$
Откуда $10a + c = 2a^{2} + 2c^{2} + 2ac$, т.е. $c$ - четное число. Пусть $c = 2n$, тогда $a^{2} - (5 – 2n)a + 4n^{2} – n = 0$.
Откуда _
$a = \frac{5 – 2n \pm \sqrt{25 – 16n – 12n^{2}}}{2}$.
Действительные значении для $a$ получим при $D = 25 – 16n – 12n^{2} \geq 0$. Так как $n_{1} = \frac{-4 + \sqrt{91}}{6}$ и $n_{2} = \frac{-4 - \sqrt{91}}{6}$ - корни квадратного трехчлена $- 12n^{2} – 16n + 25$, то $D \geq 0$ при
$\frac{-4 - \sqrt{91}}{6} \leq n \leq \frac{-4 + \sqrt{91}}{6} < 1$,
но по условию $n$ - целое и $n \geq 0$, следовательно, $0 \leq n < 1$, т. е. $n = 0$. При $n = 0, c = 0, a = b = 5$. Искомое число 550.
II случай.
$ \begin{cases}
a – b + c = 11.&\\
99a + 11b + a – b + c = 11 \cdot (a^{2} + b^{2} + c^{2}).&\\
\end{cases}$
Упростим эту систему:
$ \begin{cases}
9a + b + 1 = a^{2} + b^{2} + c^{2}&\\
a – b + c = 11.&\\
\end{cases}$
Откуда
$b = a + c – 11$ и $10a + c – 10 = a^{2} + (a + c - 11)^{2} + c^{2}$,
или
$- 32a + 2a^{2} + 2c^{2} + 2ac – 23c + 131 = 0$.
Отсюда $c$ - нечетное.
Пусть $c = 2n + 1$, тогда
$a^{2} – (15 – 2n)a + 4n^{2} – 19n + 55 = 0$.
Откуда
$a = \frac{15 – 2n \pm \sqrt{5 + 16n – 12n^{2}}}{2}$.
Действительные значения $a$ получим при $D = 5 + 16n – 12n^{2} \geq 0$. Так как $n_{1} = \frac{4 + \sqrt{31}}{6}$ и $n_{2} = \frac{4 - \sqrt{31}}{6}$ - корни квадратного трехчлена $12n^{2} – 16n – 5$, то $D = 5 + 16n – 12n^{2} \geq 0$ при $n_{2} \leq n \leq n_{1}$, т. е. $\frac{4 - \sqrt{31}}{6} \leq n \leq \frac{4 + \sqrt{31}}{6} < 2$, но по условию $n$ - целое и $n \geq 0$, поэтому или $n = 0$, или $n = 1$. Значение $n = 0$ не годится, потому что $a = \frac{15 \pm \sqrt{5}}{2}$ иррационально; $a_{1} = 8, a_{2} = 5$ при $n = 1$. Если $a = 5$, то $c = 3, b = - 3$, что невозможно; если $a = 8$, то $c = 3, b = 0$, следовательно, $a = 8, b = 0, c = 3$ и 803 - искомое число.
Из решения видно, что других чисел, отвечающих условиям задачи, нет. Ответ. 550 и 803.
Определите все трехзначные числа, которые при делении на 11 дают в частном число, равное сумме квадратов цифр исходного числа.
Решение:
Пусть $N$ - искомое трехзначное число, тогда $N = a \cdot 10^{2} + b \cdot 10 + c$, где $0 \leq a, b, c \leq 9$. Преобразуем
$N = 99a + 11b + a – b + c$. (1)
Чтобы $N$ делилось на 11, необходимо и достаточно, чтобы $a – b + c$ делилось на 11, т.е.
$a – b + c = k \cdot 11$. (2)
Поскольку $- 9 \leq a – b + c \leq 18$, то или $k = 0$, или $k = 1$. По условию $100a + 10b + c = 11 \cdot (a^{2} + b^{2} + c^{2})$.
I случай.
$ \begin{cases}
99a + 11b + a – b + c = 11 \cdot (a^{2} + b^{2} + c^{2})&\\
a – b + c = 0.&
\end{cases}$
Упростим эту систему:
$ \begin{cases}
9a + b = a^{2} + b^{2} + c^{2}&\\
b = a + c.&
\end{cases}$
Откуда $10a + c = 2a^{2} + 2c^{2} + 2ac$, т.е. $c$ - четное число. Пусть $c = 2n$, тогда $a^{2} - (5 – 2n)a + 4n^{2} – n = 0$.
Откуда _
$a = \frac{5 – 2n \pm \sqrt{25 – 16n – 12n^{2}}}{2}$.
Действительные значении для $a$ получим при $D = 25 – 16n – 12n^{2} \geq 0$. Так как $n_{1} = \frac{-4 + \sqrt{91}}{6}$ и $n_{2} = \frac{-4 - \sqrt{91}}{6}$ - корни квадратного трехчлена $- 12n^{2} – 16n + 25$, то $D \geq 0$ при
$\frac{-4 - \sqrt{91}}{6} \leq n \leq \frac{-4 + \sqrt{91}}{6} < 1$,
но по условию $n$ - целое и $n \geq 0$, следовательно, $0 \leq n < 1$, т. е. $n = 0$. При $n = 0, c = 0, a = b = 5$. Искомое число 550.
II случай.
$ \begin{cases}
a – b + c = 11.&\\
99a + 11b + a – b + c = 11 \cdot (a^{2} + b^{2} + c^{2}).&\\
\end{cases}$
Упростим эту систему:
$ \begin{cases}
9a + b + 1 = a^{2} + b^{2} + c^{2}&\\
a – b + c = 11.&\\
\end{cases}$
Откуда
$b = a + c – 11$ и $10a + c – 10 = a^{2} + (a + c - 11)^{2} + c^{2}$,
или
$- 32a + 2a^{2} + 2c^{2} + 2ac – 23c + 131 = 0$.
Отсюда $c$ - нечетное.
Пусть $c = 2n + 1$, тогда
$a^{2} – (15 – 2n)a + 4n^{2} – 19n + 55 = 0$.
Откуда
$a = \frac{15 – 2n \pm \sqrt{5 + 16n – 12n^{2}}}{2}$.
Действительные значения $a$ получим при $D = 5 + 16n – 12n^{2} \geq 0$. Так как $n_{1} = \frac{4 + \sqrt{31}}{6}$ и $n_{2} = \frac{4 - \sqrt{31}}{6}$ - корни квадратного трехчлена $12n^{2} – 16n – 5$, то $D = 5 + 16n – 12n^{2} \geq 0$ при $n_{2} \leq n \leq n_{1}$, т. е. $\frac{4 - \sqrt{31}}{6} \leq n \leq \frac{4 + \sqrt{31}}{6} < 2$, но по условию $n$ - целое и $n \geq 0$, поэтому или $n = 0$, или $n = 1$. Значение $n = 0$ не годится, потому что $a = \frac{15 \pm \sqrt{5}}{2}$ иррационально; $a_{1} = 8, a_{2} = 5$ при $n = 1$. Если $a = 5$, то $c = 3, b = - 3$, что невозможно; если $a = 8$, то $c = 3, b = 0$, следовательно, $a = 8, b = 0, c = 3$ и 803 - искомое число.
Из решения видно, что других чисел, отвечающих условиям задачи, нет. Ответ. 550 и 803.
