Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 633
2014-06-08 
На плоскости дан отрезок $AB$ и внутри него произвольная точка $M$. На отрезках $AM$ и $MB$ как на сторонах построены квадраты $AMCD$ и $MBEF$, лежащие по одну и ту же сторону от $AB$. Окружности, описанные около квадратов, с центрами $P$ и $Q$ пересекаются, кроме точки $M$, еще в точке $N$.
а) Покажите, что прямые $AF$ и $BC$ проходят через точку $N$.
б) Покажите также, что при любом положении точки $M$ прямая $MN$ проходит через одну и ту же точку $S$.
в) Найдите геометрическое место середин отрезков $PQ$, когда $M$ перемещается по отрезку $AB$.
Решение:
1) Докажем, что прямые $AN$ и $BN$ взаимно перпендикулярны. Действительно, $\hat{ANM} = \hat{ACM} = 45^{\circ}$. Точно так же $\hat{BNM} = \hat{BEM} = 45^{\circ}$. Следовательно, $\hat{ANB} = 90^{\circ}$ и прямая $MN$ - его биссектриса (рис.).
2) а) Докажем, что прямая $BC$ проходит через точку $N$. Соединим точку $B$ с точкой $N$ и точку $C$ с $N$. $\angle BNA$ - прямой, по доказанному. $\angle CAN$ также прямой, как опирающийся на диаметр. Следовательно, $CN \perp NA$ и $BN \perp NA$, т.е. три точки $B, N$ и $C$ лежат на одной прямой - перпендикуляре к $NA$, проведенном через точку $N$.
6) Докажем, что прямая $AF$ проходит через точку $N$. Соединим точку $F$ с точкой $N, \hat{FNB} =
90^{\circ}$, как опирающийся на диаметр $FB$. По п. 1) $AN \perp BN$, следовательно, точки $F$ и $A$ лежат на одном перпендикуляре, проведенном к прямой $NB$ через точку $N$.
3) Докажем, что все прямые $MN$, при произвольном выборе точки $M$ на отрезке $AB$, проходят через постоянную точку $S$. Из середины отрезка $AB$ опишем окружность радиуса $r \frac{|AB|}{2}$. Геометрическим местом точек $N$ будет полуокружность, так как по п. 1) $\angle ANB$ - прямой, причем $MN$ является его биссектрисой. Следовательно, все прямые $MN$ проходят через точку $S$, делящую пополам дополнительную к $ANB$ дугу $AB$.
4) Докажем, что геометрическим местом середин $R$ отрезков $PQ$, соединяющих центры квадратов, будет отрезок $VW$ прямой, параллельной прямой $AB$ и отстоящей от нее на расстоянии $h = \frac{|AB|}{4}$. Опустим из точек $P, Q$ и $R$ перпендикуляры $PP^{\prime}, RR^{\prime}, QQ^{\prime}$ на $AB$. Тогда четырехугольник $PP^{\prime}Q^{\prime}Q$ - трапеция, а $RR^{\prime}$ - средняя линия этой трапеции, поэтому $|RR^{\prime}| = \frac{|PP^{\prime}| + |QQ^{\prime}|}{2}$, но $|PP^{\prime}| = \frac{|AM|}{2}$ и $|QQ^{\prime}| = \frac{|MB|}{2}$, следовательно, $|RR^{\prime}| = \frac{|AM| + |BM|}{4} = \frac{|AB|}{4}$. Тогда точки $R$ лежат на прямой, параллельной $Ab$ и отстоящей от нее на расстоянии $|RR^{\prime}| = \frac{|AB|}{4}$. Рассмотрим крайние положения точек $R$, а именно, когда точка $M$ совпадает с точкой $A$ и когда точка $M$ совпадает с точкой $B$. Тогда точка $R$ является серединой отрезков $PA$ и $PB$, где $P$ - центр квадрата, построенного на $AB$.
На плоскости дан отрезок $AB$ и внутри него произвольная точка $M$. На отрезках $AM$ и $MB$ как на сторонах построены квадраты $AMCD$ и $MBEF$, лежащие по одну и ту же сторону от $AB$. Окружности, описанные около квадратов, с центрами $P$ и $Q$ пересекаются, кроме точки $M$, еще в точке $N$.
а) Покажите, что прямые $AF$ и $BC$ проходят через точку $N$.
б) Покажите также, что при любом положении точки $M$ прямая $MN$ проходит через одну и ту же точку $S$.
в) Найдите геометрическое место середин отрезков $PQ$, когда $M$ перемещается по отрезку $AB$.
Решение:
1) Докажем, что прямые $AN$ и $BN$ взаимно перпендикулярны. Действительно, $\hat{ANM} = \hat{ACM} = 45^{\circ}$. Точно так же $\hat{BNM} = \hat{BEM} = 45^{\circ}$. Следовательно, $\hat{ANB} = 90^{\circ}$ и прямая $MN$ - его биссектриса (рис.).
2) а) Докажем, что прямая $BC$ проходит через точку $N$. Соединим точку $B$ с точкой $N$ и точку $C$ с $N$. $\angle BNA$ - прямой, по доказанному. $\angle CAN$ также прямой, как опирающийся на диаметр. Следовательно, $CN \perp NA$ и $BN \perp NA$, т.е. три точки $B, N$ и $C$ лежат на одной прямой - перпендикуляре к $NA$, проведенном через точку $N$.
6) Докажем, что прямая $AF$ проходит через точку $N$. Соединим точку $F$ с точкой $N, \hat{FNB} =
90^{\circ}$, как опирающийся на диаметр $FB$. По п. 1) $AN \perp BN$, следовательно, точки $F$ и $A$ лежат на одном перпендикуляре, проведенном к прямой $NB$ через точку $N$.
3) Докажем, что все прямые $MN$, при произвольном выборе точки $M$ на отрезке $AB$, проходят через постоянную точку $S$. Из середины отрезка $AB$ опишем окружность радиуса $r \frac{|AB|}{2}$. Геометрическим местом точек $N$ будет полуокружность, так как по п. 1) $\angle ANB$ - прямой, причем $MN$ является его биссектрисой. Следовательно, все прямые $MN$ проходят через точку $S$, делящую пополам дополнительную к $ANB$ дугу $AB$.
4) Докажем, что геометрическим местом середин $R$ отрезков $PQ$, соединяющих центры квадратов, будет отрезок $VW$ прямой, параллельной прямой $AB$ и отстоящей от нее на расстоянии $h = \frac{|AB|}{4}$. Опустим из точек $P, Q$ и $R$ перпендикуляры $PP^{\prime}, RR^{\prime}, QQ^{\prime}$ на $AB$. Тогда четырехугольник $PP^{\prime}Q^{\prime}Q$ - трапеция, а $RR^{\prime}$ - средняя линия этой трапеции, поэтому $|RR^{\prime}| = \frac{|PP^{\prime}| + |QQ^{\prime}|}{2}$, но $|PP^{\prime}| = \frac{|AM|}{2}$ и $|QQ^{\prime}| = \frac{|MB|}{2}$, следовательно, $|RR^{\prime}| = \frac{|AM| + |BM|}{4} = \frac{|AB|}{4}$. Тогда точки $R$ лежат на прямой, параллельной $Ab$ и отстоящей от нее на расстоянии $|RR^{\prime}| = \frac{|AB|}{4}$. Рассмотрим крайние положения точек $R$, а именно, когда точка $M$ совпадает с точкой $A$ и когда точка $M$ совпадает с точкой $B$. Тогда точка $R$ является серединой отрезков $PA$ и $PB$, где $P$ - центр квадрата, построенного на $AB$.
