Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 632
2014-06-08 
Постройте прямоугольный треугольник по данной гипотенузе $c$, если известно, что медиана, проведенная к $c$, есть среднее геометрическое его катетов.
Решение:
4. Пусть прямоугольный треугольник $ABC$ - искомый (рис.). Из середины $O$ его гипотенузы $|AB| = c$ опишем окружность радиуса $\frac{c}{2}$. Как известно, она будет описанной около треугольника $ABC$. Через вершину $C$ проводим высоту $h_{c}$. Вычислим площадь треугольника $ABC$:
$S = \frac{1}{2} |AC| \cdot |BC| = \frac{1}{2} c \cdot h_{c}$.
По условию $|AC| \cdot |CB| = |CO|^{2} = \frac{c^{2}}{4}$, но $|AC| \cdot |CB| = 2S$. Значит, $c \cdot h_{c} = \frac{c^{2}}{4}$. Следовательно, $h_{c} = \frac{c}{4}$. Поэтому вершина $C$ является одной из точек пересечении окружности, построенной на отрезке $AB$ данной длины $c$ как на диаметре, и прямой, параллельной $AB$ и отстоящей от $AB$ на расстояние $\frac{c}{4}$.
Постройте прямоугольный треугольник по данной гипотенузе $c$, если известно, что медиана, проведенная к $c$, есть среднее геометрическое его катетов.
Решение:
4. Пусть прямоугольный треугольник $ABC$ - искомый (рис.). Из середины $O$ его гипотенузы $|AB| = c$ опишем окружность радиуса $\frac{c}{2}$. Как известно, она будет описанной около треугольника $ABC$. Через вершину $C$ проводим высоту $h_{c}$. Вычислим площадь треугольника $ABC$:
$S = \frac{1}{2} |AC| \cdot |BC| = \frac{1}{2} c \cdot h_{c}$.
По условию $|AC| \cdot |CB| = |CO|^{2} = \frac{c^{2}}{4}$, но $|AC| \cdot |CB| = 2S$. Значит, $c \cdot h_{c} = \frac{c^{2}}{4}$. Следовательно, $h_{c} = \frac{c}{4}$. Поэтому вершина $C$ является одной из точек пересечении окружности, построенной на отрезке $AB$ данной длины $c$ как на диаметре, и прямой, параллельной $AB$ и отстоящей от $AB$ на расстояние $\frac{c}{4}$.
