Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 631
2014-06-08 
Пусть $x$ - угол и пусть четыре действительных числа $a, b, c$ и $\cos x$ удовлетворяют соотношению:
$a \cos^{2} x + b \cos x + c = 0$.
Составьте квадратичное соотношение относительно $a, b, c$ и $\cos 2x$. Сравните данное и составленное соотношения для случая $a = 4, b = 2, c = -1$.
Решение:
Перепишем данное равенство в виде:
$a \cos^{2}x + c = - b \cos x$. (1)
Тогда для четырех чисел $a, b, c$ и $\cos x$ выполняется также
$a^{2} 4 \cos^{4} x + (4ac – 2b^{2}) \cdot 2 \cos^{2} x + 4c^{2} = 0$, (2)
которое получается из данного возведением в квадрат и умножением на 4. $\cos 2x$ и $\cos x$ связаны соотношением
$2 \cos^{2} x = \cos 2x + 1$. (3)
Подставляя выражение (3) в равенство (2), получим
$a^{2}(\cos 2x + 1)^{2} + (4ac – 2b^{2})(\cos 2x + 1) + 4c^{2} = 0$.
Располагая no степеням $\cos 2x$, получаем:
$a^{2} \cos^{2} 2x + (2a^{2} + 4ac – 2b^{2}) \cos 2x + (a^{2} + 4ac – 2b^{2} + 4c^{2}) = 0$.
Это и есть квадратичное соотношение относительно $a, b, c$ и $\cos 2x$.
В случае $a = 4, b = 2, c = - 1$ будет
$a^{2} = 16; 2a^{2} + 4ac 2 b^{2} = 8$,
$a^{2} + 4ac – 2b^{2} + 4c^{2} = - 4$.
Мы получаем для $\cos 2x$ уравнение:
$4 \cos^{2} 2x + 2 \cos 2x - 1 = 0$,
а заданное соотношение при $a = 4, b = 2, c = -1$ имеет вид:
$4 \cos^{2} x + 2 \cos x - 1 = 0$.
Вариант решения
Обозначим через $y_{1}$ и $y_{2}$ корни данного квадратного уравнения. Очевидно, $y_{1} + y_{2} = - \frac{b}{a}; y_{1}y_{2} = \frac{c}{a}$. Нам надо получить квадратное уравнение с корнями $z_{1} = 2y_{1}^{2} – 1$ и $z_{2} = 2y_{2}^{2} – 1$. Вычислим $- (z_{1} + z_{2})$ и $z_{1} \cdot z_{2}$. Получим:
$-( z_{1} + z_{2}) = - 2 (y_{1} + y_{2})^{2} + 4y_{1}y_{2} + 2$;
$z_{1} \cdot z_{2} = 4y_{1}^{2}y_{2}^{2} – 2 (y_{1} + y_{2})^{2} + 4y_{1}y_{2} + 1$.
Таким образом, коэффициент при $z^{2}$ можно взять равным 1, а коэффициент при $z$ и свободный член - равными полученным выражениям для $ - (z_{1} + z_{2})$ и $z_{1} \cdot z_{2}$, подставив в них $- \frac{b}{a}$ вместо $y_{1} + y_{2}$ и $\frac{c}{a}$ вместо $y_{1}y_{2}$. Умножая правую часть равенства на $a^{2}$, получаем искомое квадратное соотношение. В этом варианте случай $a = 0$ требует отдельного исследования.
Пусть $x$ - угол и пусть четыре действительных числа $a, b, c$ и $\cos x$ удовлетворяют соотношению:
$a \cos^{2} x + b \cos x + c = 0$.
Составьте квадратичное соотношение относительно $a, b, c$ и $\cos 2x$. Сравните данное и составленное соотношения для случая $a = 4, b = 2, c = -1$.
Решение:
Перепишем данное равенство в виде:
$a \cos^{2}x + c = - b \cos x$. (1)
Тогда для четырех чисел $a, b, c$ и $\cos x$ выполняется также
$a^{2} 4 \cos^{4} x + (4ac – 2b^{2}) \cdot 2 \cos^{2} x + 4c^{2} = 0$, (2)
которое получается из данного возведением в квадрат и умножением на 4. $\cos 2x$ и $\cos x$ связаны соотношением
$2 \cos^{2} x = \cos 2x + 1$. (3)
Подставляя выражение (3) в равенство (2), получим
$a^{2}(\cos 2x + 1)^{2} + (4ac – 2b^{2})(\cos 2x + 1) + 4c^{2} = 0$.
Располагая no степеням $\cos 2x$, получаем:
$a^{2} \cos^{2} 2x + (2a^{2} + 4ac – 2b^{2}) \cos 2x + (a^{2} + 4ac – 2b^{2} + 4c^{2}) = 0$.
Это и есть квадратичное соотношение относительно $a, b, c$ и $\cos 2x$.
В случае $a = 4, b = 2, c = - 1$ будет
$a^{2} = 16; 2a^{2} + 4ac 2 b^{2} = 8$,
$a^{2} + 4ac – 2b^{2} + 4c^{2} = - 4$.
Мы получаем для $\cos 2x$ уравнение:
$4 \cos^{2} 2x + 2 \cos 2x - 1 = 0$,
а заданное соотношение при $a = 4, b = 2, c = -1$ имеет вид:
$4 \cos^{2} x + 2 \cos x - 1 = 0$.
Вариант решения
Обозначим через $y_{1}$ и $y_{2}$ корни данного квадратного уравнения. Очевидно, $y_{1} + y_{2} = - \frac{b}{a}; y_{1}y_{2} = \frac{c}{a}$. Нам надо получить квадратное уравнение с корнями $z_{1} = 2y_{1}^{2} – 1$ и $z_{2} = 2y_{2}^{2} – 1$. Вычислим $- (z_{1} + z_{2})$ и $z_{1} \cdot z_{2}$. Получим:
$-( z_{1} + z_{2}) = - 2 (y_{1} + y_{2})^{2} + 4y_{1}y_{2} + 2$;
$z_{1} \cdot z_{2} = 4y_{1}^{2}y_{2}^{2} – 2 (y_{1} + y_{2})^{2} + 4y_{1}y_{2} + 1$.
Таким образом, коэффициент при $z^{2}$ можно взять равным 1, а коэффициент при $z$ и свободный член - равными полученным выражениям для $ - (z_{1} + z_{2})$ и $z_{1} \cdot z_{2}$, подставив в них $- \frac{b}{a}$ вместо $y_{1} + y_{2}$ и $\frac{c}{a}$ вместо $y_{1}y_{2}$. Умножая правую часть равенства на $a^{2}$, получаем искомое квадратное соотношение. В этом варианте случай $a = 0$ требует отдельного исследования.
