Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 630
2014-06-08 
При каких действительных значениях $x$ имеет место каждое из равенств:
а) $\sqrt{x + \sqrt{2x - 1}} + \sqrt{x - \sqrt{2x - 1}} = \sqrt{2}$;
б) $\sqrt{x + \sqrt{2x - 1}} + \sqrt{x - \sqrt{2x - 1}} = 1$;
в) $\sqrt{x + \sqrt{2x - 1}} + \sqrt{x - \sqrt{2x - 1}} = 2$
(причем рассматриваются только положительные значения корня)?
Решение:
В условии задачи неявно требуется, чтобы все подкоренные значения были неотрицательными. Поэтому следует рассматривать лишь значения $x \geq \frac{1}{2}$ чтобы $2x – 1 \geq 0$. В этой области подкоренные выражения для остальных корней также неотрицательны. Для $x + \sqrt{2x - 1}$ это очевидно. Из неотрицательности квадратного трехчлена
$(x - 1)^{2} = x^{2} – 2x + 1 \geq 0$
следует, $x^{2} \geq 2x – 1$, а поэтому $x \geq \sqrt{2x - 1}$ так, что и $x - \sqrt{2x - 1} \geq 0$ при $x \geq \frac{1}{2}$.
Преобразуем
$\sqrt{x + \sqrt{2x - 1}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{2x + 2 \sqrt{2x - 1}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{2x – 1 + 2 \sqrt{2x - 1} + 1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{(\sqrt{2x - 1})^{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} |\sqrt{2x - 1} + 1|$
и аналогично
$\sqrt{x + \sqrt{2x - 1}} = \frac{1}{\sqrt{2}} |\sqrt{2x - 1} + 1|$
(берем модули, так как по условию корни положительны).
Рассмотрим определенную при $x \geq \frac{1}{2}$ функцию
$y = \sqrt{x + \sqrt{2x - 1}} + \sqrt{ x - \sqrt{2x - 1}} = \frac{1}{\sqrt{2}} (|\sqrt{2x - 1} + 1| + |\sqrt{2x - 1} - 1|)$.
Разобьем область се определения на два промежутка:
$\frac{1}{2} \leq x < 1$ и $1 \leq x < + \infty$.
На первом промежутке
$y = \frac{1}{\sqrt{2}} ((\sqrt{2x - 1} + 1) + (- \sqrt{2x - 1} + 1)) = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.
На втором промежутке
$y = \frac{1}{\sqrt{2}} ((\sqrt{2x - 1} + 1) + (\sqrt{2x - 1} + 1)) = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2x – 1}$.
Итак, мы доказали, что
$y = \sqrt{2}$ для $\frac{1}{2} \leq x < 1$;
$y = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2x - 1}$ для $1 \leq x < + \infty$, причем $y \geq \sqrt{2}$.
Отсюда следует, что данные в условии задачи равенства имеют место при следующих значениях $x$:
а) $y = \sqrt{2}$ выполняется для $\frac{1}{2} \leq x \leq 1$;
б) $y = 1$ не выполняется ни при каком значении $x$, так как $y \geq \sqrt{2}$;
в) $y = 2$ выполняется при $x = \frac{3}{3}$, так как $\frac{3}{2}$ - единственное решение уравнения $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2x - 1} = 2$.
При каких действительных значениях $x$ имеет место каждое из равенств:
а) $\sqrt{x + \sqrt{2x - 1}} + \sqrt{x - \sqrt{2x - 1}} = \sqrt{2}$;
б) $\sqrt{x + \sqrt{2x - 1}} + \sqrt{x - \sqrt{2x - 1}} = 1$;
в) $\sqrt{x + \sqrt{2x - 1}} + \sqrt{x - \sqrt{2x - 1}} = 2$
(причем рассматриваются только положительные значения корня)?
Решение:
В условии задачи неявно требуется, чтобы все подкоренные значения были неотрицательными. Поэтому следует рассматривать лишь значения $x \geq \frac{1}{2}$ чтобы $2x – 1 \geq 0$. В этой области подкоренные выражения для остальных корней также неотрицательны. Для $x + \sqrt{2x - 1}$ это очевидно. Из неотрицательности квадратного трехчлена
$(x - 1)^{2} = x^{2} – 2x + 1 \geq 0$
следует, $x^{2} \geq 2x – 1$, а поэтому $x \geq \sqrt{2x - 1}$ так, что и $x - \sqrt{2x - 1} \geq 0$ при $x \geq \frac{1}{2}$.
Преобразуем
$\sqrt{x + \sqrt{2x - 1}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{2x + 2 \sqrt{2x - 1}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{2x – 1 + 2 \sqrt{2x - 1} + 1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{(\sqrt{2x - 1})^{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} |\sqrt{2x - 1} + 1|$
и аналогично
$\sqrt{x + \sqrt{2x - 1}} = \frac{1}{\sqrt{2}} |\sqrt{2x - 1} + 1|$
(берем модули, так как по условию корни положительны).
Рассмотрим определенную при $x \geq \frac{1}{2}$ функцию
$y = \sqrt{x + \sqrt{2x - 1}} + \sqrt{ x - \sqrt{2x - 1}} = \frac{1}{\sqrt{2}} (|\sqrt{2x - 1} + 1| + |\sqrt{2x - 1} - 1|)$.
Разобьем область се определения на два промежутка:
$\frac{1}{2} \leq x < 1$ и $1 \leq x < + \infty$.
На первом промежутке
$y = \frac{1}{\sqrt{2}} ((\sqrt{2x - 1} + 1) + (- \sqrt{2x - 1} + 1)) = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.
На втором промежутке
$y = \frac{1}{\sqrt{2}} ((\sqrt{2x - 1} + 1) + (\sqrt{2x - 1} + 1)) = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2x – 1}$.
Итак, мы доказали, что
$y = \sqrt{2}$ для $\frac{1}{2} \leq x < 1$;
$y = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2x - 1}$ для $1 \leq x < + \infty$, причем $y \geq \sqrt{2}$.
Отсюда следует, что данные в условии задачи равенства имеют место при следующих значениях $x$:
а) $y = \sqrt{2}$ выполняется для $\frac{1}{2} \leq x \leq 1$;
б) $y = 1$ не выполняется ни при каком значении $x$, так как $y \geq \sqrt{2}$;
в) $y = 2$ выполняется при $x = \frac{3}{3}$, так как $\frac{3}{2}$ - единственное решение уравнения $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2x - 1} = 2$.
