Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 628
2014-06-08 
Доказать, что для любой непрерывной функции $u(x)$, не равной нулю тождественно и такой, что $\int_{- \infty}^{\infty} |u(x)| dx < \infty$, выполняется неравенство
$\int_{-infty}^{\infty} \int_{-infty}^{\infty} e^{-(x - y)^{2}} u(x)u(y) dxdy > 0$.
Решение:
Пусть $Ef \equiv \overline{f}(\omega)$ обозначает преобразование Фурье функции $f(x)$. Учитывая, что $Fe^{-x^{2}} = \sqrt{\pi} e^{- \omega^{2}/4}$ и вычисляя $F \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x-y)^{2}} \times u(y)dy$ как преобразование Фурье свертки, получим
$F \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x-y)^{2}} u(y)dy = \sqrt{\pi} e^{-\omega^{2}/4} \widetilde{u}(\omega)$
Отсюда
$\int_{-\infty}^{+ \infty} \int_{-\infty}^{+ \infty} e^{-(x-y)^{2}} u(x)u(y)dxdy = \frac{1}{2 \pi} \int_{- \infty}^{+ \infty} u(x) \int_{-\infty}^{+\infty} \sqrt{ \pi } e^{- \omega^{2}/4} \widetilde{u}(\omega) e^{i \omega x} d \omega = \frac{1}{2 \sqrt{\pi}} \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- \omega^{2}/4}u(\omega) \overline{\widetilde{u}(\omega)} = \frac{1}{2 \sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{+ \infty} e^{- \omega^{2}/4} |\widetilde{u}(\omega)|^{2} d \omega > 0$.
Доказать, что для любой непрерывной функции $u(x)$, не равной нулю тождественно и такой, что $\int_{- \infty}^{\infty} |u(x)| dx < \infty$, выполняется неравенство
$\int_{-infty}^{\infty} \int_{-infty}^{\infty} e^{-(x - y)^{2}} u(x)u(y) dxdy > 0$.
Решение:
Пусть $Ef \equiv \overline{f}(\omega)$ обозначает преобразование Фурье функции $f(x)$. Учитывая, что $Fe^{-x^{2}} = \sqrt{\pi} e^{- \omega^{2}/4}$ и вычисляя $F \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x-y)^{2}} \times u(y)dy$ как преобразование Фурье свертки, получим
$F \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x-y)^{2}} u(y)dy = \sqrt{\pi} e^{-\omega^{2}/4} \widetilde{u}(\omega)$
Отсюда
$\int_{-\infty}^{+ \infty} \int_{-\infty}^{+ \infty} e^{-(x-y)^{2}} u(x)u(y)dxdy = \frac{1}{2 \pi} \int_{- \infty}^{+ \infty} u(x) \int_{-\infty}^{+\infty} \sqrt{ \pi } e^{- \omega^{2}/4} \widetilde{u}(\omega) e^{i \omega x} d \omega = \frac{1}{2 \sqrt{\pi}} \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- \omega^{2}/4}u(\omega) \overline{\widetilde{u}(\omega)} = \frac{1}{2 \sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{+ \infty} e^{- \omega^{2}/4} |\widetilde{u}(\omega)|^{2} d \omega > 0$.
