Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 627
2014-06-08 
Пусть $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ - непрерывная неотрицательная функция и $\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx = 1$. Обозначим
$I_{n}(r) = \underset{x_{1}^{2} + \cdots + x_{n}^{2} \leq r^{2}}{\int \cdots \int} f(x_{1}) \cdots f(x_{n}) dx_{1} \cdots dx_{n}$
Решение:
Возьмем натуральное $k$ столь большим, чтобы при $a = r/\sqrt{k+1}$ выполнялось условие
$\int_{-a}^{a} f(x)dx \leq \frac{1}{2}$.
Если $x_{1}^{2} + \cdots + x_{n}^{2} \leq r^{2}$, то среди чисел $|x_{1}|, \cdots, |x_{n}|$ может быть не более $k$ превосходящих $a$. Поэтому множество $\{ (x_{1}, \cdots, x_{n}) : x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \cdots + x_{n}^{2} \leq r^{2} \}$ покрывается (при $n > k$) $C_{n}^{k}$ множествами вида
$U_{m_{1}, \cdots, m_{k}} = \{ (x_{1}, \cdots, x_{n}) : |x_{m}| \leq a \text{при} m \neq m_{1}, \cdots, m_{k} \}$,
$1 \leq m_{1} < m_{2} < \cdots < m_{k} \leq n$. Следовательно,
$I_{n}(r) \leq \sum_{1 \leq m_{1} < \cdots < m_{k} \leq n U_{m_{1}, \cdots, m_{k}}} \int f(x_{1}) \cdots f_(x_{n})dx_{x} \cdots dx_{n}$.
Так как все интегралы в последней сумме равны, то
$I_{n}(r) \leq C_{n}^{k} \int f(x_{1}) \cdots f_(x_{n})dx_{x} \cdots dx_{n} = C_{n}^{k} \int_{- \infty}^{\infty} f(x_{1})dx_{1} \cdots \int_{-\infty}^{\infty} f(x_{k})dx_{k} \int_{-a}^{a}f(x_{k+1})dx_{k+1} \cdots \int_{-a}^{a} f(x_{n})dx_{n} \leq C_{n}^{k} \left ( \frac{1}{2} \right )^{n-k} < \frac{(2n)^{k}}{2^{n}}$
Правая часть последнего неравенства стремится к 0 при фиксированном $k$ и $n \rightarrow \infty$, поэтому и $lim_{n \rightarrow \infty} I_{n}(r) = 0$.
Пусть $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ - непрерывная неотрицательная функция и $\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx = 1$. Обозначим
$I_{n}(r) = \underset{x_{1}^{2} + \cdots + x_{n}^{2} \leq r^{2}}{\int \cdots \int} f(x_{1}) \cdots f(x_{n}) dx_{1} \cdots dx_{n}$
Решение:
Возьмем натуральное $k$ столь большим, чтобы при $a = r/\sqrt{k+1}$ выполнялось условие
$\int_{-a}^{a} f(x)dx \leq \frac{1}{2}$.
Если $x_{1}^{2} + \cdots + x_{n}^{2} \leq r^{2}$, то среди чисел $|x_{1}|, \cdots, |x_{n}|$ может быть не более $k$ превосходящих $a$. Поэтому множество $\{ (x_{1}, \cdots, x_{n}) : x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \cdots + x_{n}^{2} \leq r^{2} \}$ покрывается (при $n > k$) $C_{n}^{k}$ множествами вида
$U_{m_{1}, \cdots, m_{k}} = \{ (x_{1}, \cdots, x_{n}) : |x_{m}| \leq a \text{при} m \neq m_{1}, \cdots, m_{k} \}$,
$1 \leq m_{1} < m_{2} < \cdots < m_{k} \leq n$. Следовательно,
$I_{n}(r) \leq \sum_{1 \leq m_{1} < \cdots < m_{k} \leq n U_{m_{1}, \cdots, m_{k}}} \int f(x_{1}) \cdots f_(x_{n})dx_{x} \cdots dx_{n}$.
Так как все интегралы в последней сумме равны, то
$I_{n}(r) \leq C_{n}^{k} \int f(x_{1}) \cdots f_(x_{n})dx_{x} \cdots dx_{n} = C_{n}^{k} \int_{- \infty}^{\infty} f(x_{1})dx_{1} \cdots \int_{-\infty}^{\infty} f(x_{k})dx_{k} \int_{-a}^{a}f(x_{k+1})dx_{k+1} \cdots \int_{-a}^{a} f(x_{n})dx_{n} \leq C_{n}^{k} \left ( \frac{1}{2} \right )^{n-k} < \frac{(2n)^{k}}{2^{n}}$
Правая часть последнего неравенства стремится к 0 при фиксированном $k$ и $n \rightarrow \infty$, поэтому и $lim_{n \rightarrow \infty} I_{n}(r) = 0$.
