Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 626
2014-06-08 
Найти
$lim_{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \cdots \int_{0}^{1} max (x_{1}, \cdots, x_{n}) dx_{1} \cdots dx_{n}$.
Решение:
Обозначим
$K = \{(x_{1}, \cdots, x_{n}) : 0 \leq x_{1} \leq 1, \cdots ,0 \leq x_{n} \leq 1 \}$
$n$-мерный куб,
$K_{j} = \{(x_{1}, \cdots, x_{n}) \in K: x_{j} = max (x_{1}, \cdots, x_{n}) \}$,
$V_{\alpha, j} – (n - 1)$-мерный объем сечения $K_{j}$ плоскостью $x_{j} = \alpha$. Очевидно, $V_{\alpha, j} = \alpha^{n-1}$.
Данный $n$-кратный интеграл, стоящий под знаком предела, равен
$\int \cdot \int_{K} max (x_{1}, \cdots, x_{n}) dx_{1} \cdots dx_{n} = \sum_{j=1}^{n} \int \int_{K_{j}} x_{j} dx_{1} \cdots dx_{n} = \sum_{j = 1}^{n} \int_{0}^{1} x_{j} V_{x_{j}, j} dx_{j} = \sum_{j=1}^{n} \int_{0}^{1} \alpha^{n} d \alpha = \frac{n}{n + 1}$.
Следовательно, искомый предел равен 1.
Найти
$lim_{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \cdots \int_{0}^{1} max (x_{1}, \cdots, x_{n}) dx_{1} \cdots dx_{n}$.
Решение:
Обозначим
$K = \{(x_{1}, \cdots, x_{n}) : 0 \leq x_{1} \leq 1, \cdots ,0 \leq x_{n} \leq 1 \}$
$n$-мерный куб,
$K_{j} = \{(x_{1}, \cdots, x_{n}) \in K: x_{j} = max (x_{1}, \cdots, x_{n}) \}$,
$V_{\alpha, j} – (n - 1)$-мерный объем сечения $K_{j}$ плоскостью $x_{j} = \alpha$. Очевидно, $V_{\alpha, j} = \alpha^{n-1}$.
Данный $n$-кратный интеграл, стоящий под знаком предела, равен
$\int \cdot \int_{K} max (x_{1}, \cdots, x_{n}) dx_{1} \cdots dx_{n} = \sum_{j=1}^{n} \int \int_{K_{j}} x_{j} dx_{1} \cdots dx_{n} = \sum_{j = 1}^{n} \int_{0}^{1} x_{j} V_{x_{j}, j} dx_{j} = \sum_{j=1}^{n} \int_{0}^{1} \alpha^{n} d \alpha = \frac{n}{n + 1}$.
Следовательно, искомый предел равен 1.
