Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 625
2014-06-08 
Пусть $Q$ - линейное отображение из $C^{\infty}(\mathbf{R}^{n})$ в $\mathbf{R}$. Известно, что если $f \in C^{\infty}(\mathbf{R}^{n}), f(0) = 0$ и $f(x) \geq 0$ -в некоторой окрестности нуля, то $Q(f) \geq 0$. Доказать, что найдутся числа $a_{ij}, b_{i}, c (i, j \in \{1, 2, \cdots, n \})$ такие, что для любой функции $f \in C^{\infty}(\mathbf{R}^{n})$
$Q(f) = \sum_{i,j = 1}^{n} a_{ij} \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} (0) + \sum_{i = 1}^{n}b_{i} \frac{\partial f}{\partial x_{i}} (0) + cf(0)$.
Решение:
По формуле Тейлора
$f(x) = f(0) + \sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_{i}} (0) x_{i} + \frac{1}{2} \sum_{i,j = 1}^{n} \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} (0) x_{i}x_{j} + \phi(x)$,
где $\phi(x) = o(|x|^{2})$. Тогда, обозначив $Q(1) = c, Q(x_{i}) = b_{i}, 1/2Q(x_{i}, x_{j}) = a_{ij} (1 \leq I \leq n, 1 \leq j \leq n)$, получаем
$Q(f) = \sum_{i,j = 1}^{n} a_{ij} \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} (0) + \sum_{i = 1}^{n} b_{i} \frac{\partial f}{\partial x_{i}} (0) + cf(0) + Q \phi$.
Осталось доказать, что $Q(\phi) = 0$, если $\phi = o(|x|^{2})$. Действительно, при $\varepsilon > 0$ функция $\varepsilon |x|^{2} - \phi$ гладкая, в нуле равна 0 и неотрицательна в некоторой окрестности нуля. Значит, $Q(\varepsilon |x|^{2} - \phi) > 0$, или $Q(\phi) \leq \varepsilon Q(|x[^{2})$. При $\varepsilon \rightarrow 0$ получим $Q(\phi) \leq 0$. Аналогично показывается, что $Q(- \phi) \leq 0$, т. е. $Q(\phi) \geq 0$, и, значит, $Q \phi = 0$.
Пусть $Q$ - линейное отображение из $C^{\infty}(\mathbf{R}^{n})$ в $\mathbf{R}$. Известно, что если $f \in C^{\infty}(\mathbf{R}^{n}), f(0) = 0$ и $f(x) \geq 0$ -в некоторой окрестности нуля, то $Q(f) \geq 0$. Доказать, что найдутся числа $a_{ij}, b_{i}, c (i, j \in \{1, 2, \cdots, n \})$ такие, что для любой функции $f \in C^{\infty}(\mathbf{R}^{n})$
$Q(f) = \sum_{i,j = 1}^{n} a_{ij} \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} (0) + \sum_{i = 1}^{n}b_{i} \frac{\partial f}{\partial x_{i}} (0) + cf(0)$.
Решение:
По формуле Тейлора
$f(x) = f(0) + \sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_{i}} (0) x_{i} + \frac{1}{2} \sum_{i,j = 1}^{n} \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} (0) x_{i}x_{j} + \phi(x)$,
где $\phi(x) = o(|x|^{2})$. Тогда, обозначив $Q(1) = c, Q(x_{i}) = b_{i}, 1/2Q(x_{i}, x_{j}) = a_{ij} (1 \leq I \leq n, 1 \leq j \leq n)$, получаем
$Q(f) = \sum_{i,j = 1}^{n} a_{ij} \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} (0) + \sum_{i = 1}^{n} b_{i} \frac{\partial f}{\partial x_{i}} (0) + cf(0) + Q \phi$.
Осталось доказать, что $Q(\phi) = 0$, если $\phi = o(|x|^{2})$. Действительно, при $\varepsilon > 0$ функция $\varepsilon |x|^{2} - \phi$ гладкая, в нуле равна 0 и неотрицательна в некоторой окрестности нуля. Значит, $Q(\varepsilon |x|^{2} - \phi) > 0$, или $Q(\phi) \leq \varepsilon Q(|x[^{2})$. При $\varepsilon \rightarrow 0$ получим $Q(\phi) \leq 0$. Аналогично показывается, что $Q(- \phi) \leq 0$, т. е. $Q(\phi) \geq 0$, и, значит, $Q \phi = 0$.
