Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 624
2014-06-08 
Привести пример функции переменных $x$ и $y$, дважды непрерывно дифференцируемой по каждому переменному в области $U = \{(x, y) : x^{2} + y^{2} < 1 \}$ и не имеющей смешанной производной в точке (0, 0).
Решение:
Таким свойством обладает функция
$ f(x,y) = \begin{cases}
xy \sqrt{- ln (x^{2} + y^{2})},&\text{если} (x,y) \neq (0,0);\\
0,&\text{если} (x,y) = (0,0).
\end{cases}
$
Так как $f(x, у) = 0$ при $x = 0$ или $y = 0$, то
$f(0, 0) = f_{x}^{\prime}(0, 0) = f_{xx}^{\prime \prime} (0, 0) = f_{y}^{\prime}(0) = f_{yy}^{\prime \prime} (0) = 0$.
Найдем $f_{x}^{\prime}$ и $f_{xx}^{\prime \prime}$ в остальных точках:
$f_{x}^{\prime}(x, y) = y \sqrt{- ln (x^{2} + y^{2})} - \frac{x^{2}y}{(x^{2} + y^{2}) \sqrt{-ln (x^{2} + y^{2})}}$,
$f_{xx}^{\prime \prime} (x, y) = - \frac{xy}{\sqrt{-ln(x^{2} + y^{2})} (x^{2} + y^{2})} - \frac{2xy}{(x^{2} + y^{2}) \sqrt{- ln (x^{2} + y^{2})}} + \frac{2x^{3}y}{(x^{2} + y^{2})^{2} \sqrt{- ln (x^{2} + y^{2})}} + \frac{x^{3}y}{(x^{2} + y^{2})^{2} ln(x^{2} + y^{2}) \sqrt{- ln (x^{2} + y^{2})}}$.
Ясно, что функции $f, f_{x}^{\prime}, f_{xx}^{\prime \prime}$ непрерывны в $U \backslash \{0, 0 \}$. Для проверки непрерывности их в нуле достаточно показать, что
$lim_{\underset{y \rightarrow 0}{x \rightarrow 0},}f(x, y) = lim_{\underset{y \rightarrow 0}{x \rightarrow 0},}f^{\prime}_{x}(x, y) = lim_{\underset{y \rightarrow 0}{x \rightarrow 0},}f_{xx}^{\prime \prime}(x, y) = 0$.
Эти равенства легко доказать, используя оценки $|x| \leq \sqrt{x^{2} + y{^2}} \: |y| \leq \sqrt{x^{2} + y^{2}}$. Так,
$|f_{xx}^{\prime \prime} (x,y)| \leq \frac{|xy|}{(x^{2} + y^{2}) |\sqrt{- ln (x^{2} + y^{2})}|} + \frac{2|xy|}{(x^{2} + y^{2}) |\sqrt{- ln (x^{2} + y^{2})}|} + \frac{2|x^{3}y|}{(x^{2} + y^{2})^{2} |\sqrt{- ln (x^{2} + y^{2})}|} + \frac{|x^{2}y|}{(x^{2} + y^{2})^{2} |\sqrt{- ln (x^{2} + y^{2})}|^{3}} \leq \frac{x^{2} + y^{2}}{(x^{2} + y^{2}) |\sqrt{- ln (x^{2} + y^{2})}|} + \frac{2(x^{2} + y^{2})}{(x^{2} + y^{2}) |\sqrt{- ln (x^{2} + y^{2})}|} + \frac{2 (x^{2} + y^{2})^{2}}{(x^{2} + y^{2})^{2} |\sqrt{- ln (x^{2} + y^{2})}|} + \frac{(x^{2} + y^{2})^{2}}{(x^{2} + y^{2})^{2} |\sqrt{- ln (x^{2} + y^{2})}|^{3}} = \frac{5}{|\sqrt{- ln (x^{2} + y^{2})}|} + \frac{1}{|\sqrt{- ln (x^{2} + y^{2})}|} \rightarrow 0 (x \rightarrow 0, y \rightarrow 0)$.
Итак, функции $f, f_{x}^{\prime}$ и $f_{xx}^{\prime \prime}$ непрерывны в $U$. Так как $x$ и $y$ входят в $f$ симметричным образом, то $f_{x}^{\prime} \in C(U)$ и $f_{yy}^{\prime \prime} \in C(U)$. В то же время $f$ не имеет смешанной производной в нуле. Действительно,
$lim_{y \rightarrow 0} \frac{f_{x}^{\prime}(0, y) – f_{x}^{\prime}(0, 0)}{y} = lim_{y \rightarrow 0} \sqrt{- ln y^{2}} = \infty$.
Тем самым задача решена.
Привести пример функции переменных $x$ и $y$, дважды непрерывно дифференцируемой по каждому переменному в области $U = \{(x, y) : x^{2} + y^{2} < 1 \}$ и не имеющей смешанной производной в точке (0, 0).
Решение:
Таким свойством обладает функция
$ f(x,y) = \begin{cases}
xy \sqrt{- ln (x^{2} + y^{2})},&\text{если} (x,y) \neq (0,0);\\
0,&\text{если} (x,y) = (0,0).
\end{cases}
$
Так как $f(x, у) = 0$ при $x = 0$ или $y = 0$, то
$f(0, 0) = f_{x}^{\prime}(0, 0) = f_{xx}^{\prime \prime} (0, 0) = f_{y}^{\prime}(0) = f_{yy}^{\prime \prime} (0) = 0$.
Найдем $f_{x}^{\prime}$ и $f_{xx}^{\prime \prime}$ в остальных точках:
$f_{x}^{\prime}(x, y) = y \sqrt{- ln (x^{2} + y^{2})} - \frac{x^{2}y}{(x^{2} + y^{2}) \sqrt{-ln (x^{2} + y^{2})}}$,
$f_{xx}^{\prime \prime} (x, y) = - \frac{xy}{\sqrt{-ln(x^{2} + y^{2})} (x^{2} + y^{2})} - \frac{2xy}{(x^{2} + y^{2}) \sqrt{- ln (x^{2} + y^{2})}} + \frac{2x^{3}y}{(x^{2} + y^{2})^{2} \sqrt{- ln (x^{2} + y^{2})}} + \frac{x^{3}y}{(x^{2} + y^{2})^{2} ln(x^{2} + y^{2}) \sqrt{- ln (x^{2} + y^{2})}}$.
Ясно, что функции $f, f_{x}^{\prime}, f_{xx}^{\prime \prime}$ непрерывны в $U \backslash \{0, 0 \}$. Для проверки непрерывности их в нуле достаточно показать, что
$lim_{\underset{y \rightarrow 0}{x \rightarrow 0},}f(x, y) = lim_{\underset{y \rightarrow 0}{x \rightarrow 0},}f^{\prime}_{x}(x, y) = lim_{\underset{y \rightarrow 0}{x \rightarrow 0},}f_{xx}^{\prime \prime}(x, y) = 0$.
Эти равенства легко доказать, используя оценки $|x| \leq \sqrt{x^{2} + y{^2}} \: |y| \leq \sqrt{x^{2} + y^{2}}$. Так,
$|f_{xx}^{\prime \prime} (x,y)| \leq \frac{|xy|}{(x^{2} + y^{2}) |\sqrt{- ln (x^{2} + y^{2})}|} + \frac{2|xy|}{(x^{2} + y^{2}) |\sqrt{- ln (x^{2} + y^{2})}|} + \frac{2|x^{3}y|}{(x^{2} + y^{2})^{2} |\sqrt{- ln (x^{2} + y^{2})}|} + \frac{|x^{2}y|}{(x^{2} + y^{2})^{2} |\sqrt{- ln (x^{2} + y^{2})}|^{3}} \leq \frac{x^{2} + y^{2}}{(x^{2} + y^{2}) |\sqrt{- ln (x^{2} + y^{2})}|} + \frac{2(x^{2} + y^{2})}{(x^{2} + y^{2}) |\sqrt{- ln (x^{2} + y^{2})}|} + \frac{2 (x^{2} + y^{2})^{2}}{(x^{2} + y^{2})^{2} |\sqrt{- ln (x^{2} + y^{2})}|} + \frac{(x^{2} + y^{2})^{2}}{(x^{2} + y^{2})^{2} |\sqrt{- ln (x^{2} + y^{2})}|^{3}} = \frac{5}{|\sqrt{- ln (x^{2} + y^{2})}|} + \frac{1}{|\sqrt{- ln (x^{2} + y^{2})}|} \rightarrow 0 (x \rightarrow 0, y \rightarrow 0)$.
Итак, функции $f, f_{x}^{\prime}$ и $f_{xx}^{\prime \prime}$ непрерывны в $U$. Так как $x$ и $y$ входят в $f$ симметричным образом, то $f_{x}^{\prime} \in C(U)$ и $f_{yy}^{\prime \prime} \in C(U)$. В то же время $f$ не имеет смешанной производной в нуле. Действительно,
$lim_{y \rightarrow 0} \frac{f_{x}^{\prime}(0, y) – f_{x}^{\prime}(0, 0)}{y} = lim_{y \rightarrow 0} \sqrt{- ln y^{2}} = \infty$.
Тем самым задача решена.
