Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 623
2014-06-08 
Обозначим через $M$ график функции $y = |x|$ (будем рассматривать $M$ как подмножество $\mathbf{R}^{2}$). Через $C^{\infty}(M)$ обозначим кольцо функций на $M$, являющихся ограничениями функций из $C^{\infty}(\mathbf{R}^{2})$. Доказать, что не существует $\mathbf{R}$ -линейного изоморфизма колец $C^{\infty}(M)$ и $C^{\infty}(\mathbf{R})$.
Решение:
Обозначим
$ \phi_{1}(x,y) = \frac{x + y}{2} = \begin{cases}
x,&\text{если} (x,y) \in M, x \geq 0,\\
0,&\text{если} (x,y) \in M, x < 0,
\end{cases}
$
$ \phi_{2}(x,y) = \frac{x - y}{2} = \begin{cases}
x,&\text{если} (x,y) \in M, x \leq 0,\\
0,&\text{если} (x,y) \in M, x > 0,
\end{cases}
$
Очевидно, $\phi_{1}$ и $\phi_{2}$ принадлежат $C^{\infty}(M)$. Покажем, что любая функция $f \in C^{\infty}(M)$ представима в виде $f_{1}\phi_{1} + f_{2}\phi_{2} + c$, где $f_{1} \in C^{\infty}(M), f_{2} \in C^{\infty}(M), c = f(0, 0)$.
Положим $g_{1}(x) = f(x, x) - c, g_{2}(x) = f(x, -x) – c$. Так как $g_{1}(0) = G_{2}(0) = 0, g_{1} \in C^{\infty}(\mathbf{R}), g_{2} \in C^{\infty}(\mathbf{R})$, то в силу результата задачи 586 $g_{1}(x)= xG_{1}(x), g_{2}(x) = xG_{2}(x)$, где $G_{1} \in C^{\infty}(\mathbf{R}), G_{2} \in C^{\infty}(\mathbf{R})$. Полагая $f_{j}(x, y) =G_{j}(x) (j = 1, 2)$, мы получаем искомые функции $f_{1}$ и $f_{2}$.
Допустим, что существует $\mathbf{R}$ - линейный изоморфизм $ C^{\infty}(M) \overset{\tau}{\rightarrow} C^{\infty}(\mathbf{R})$. Обозначим через $\mathbf{1}$ функцию из $ C^{\infty}(M)$ или $ C^{\infty}(\mathbf{R})$, тождественно равную единице. Имеем $\mathbf{1} \cdot f = f$ для любой $f \in C^{\infty}(M)$, поэтому $\tau(\mathbf{1}) \cdot f = f$ для любой функции $f \in C^{\infty}(\mathbf{R})$, откуда следует, что $\tau( \mathbf{1} ) = 1$. Поэтому $\tau(c \cdot \mathbf{1} = c \cdot \mathbf{1}$ для любого числа $c$, т. е. отображение $tau$ переводит любую константу в ту же самую константу.
Обозначим теперь $\psi_{j} = \tau(\phi_{j}) \in C^{\infty}(\mathbf{R}) (j = 1, 2)$. Имеем $\psi_{1} \psi_{2} = \tau, (\phi_{1} \phi_{2}) = 0$. Обозначим через $U_{j}$ внутренность носителя функции $\psi_{j} (j = 1, 2)$. Из условия $\psi_{1} \psi_{2} = 0$ вытекает, что $U_{1} \bigcap U_{2} = 0$. (Действительно, в противном случае существовал бы отрезок $[a, b] \subset U_{1} \bigcap U_{2}, a < b$. Так как $[a, b] \subset supp \psi_{1}$ и $[a, b] \subset supp \psi_{2}$, то множества точек $\{ x \in [a, b] : \psi_{j}(x) = 0 \} (j = 1, 2)$ нигде не плотны в $[a, b]$, а поэтому найдется точка $x \in [a, b]$ такая, что $\psi_{1}(x) \neq 0, \psi_{2} (x) \neq 0$). Так как $U_{1}$ и $U_{2}$ - непустые открытые множества и $U_{1} \bigcap U_{2} = \varnothing$, то найдется точка $x_{0} \in \mathbf{R}$ такая, что $x_{0} \overline{\in} U_{1} \bigcup U_{2}$. Из условия $x_{0} \overline{\in} U_{1}$ следует, что в любой окрестности $x_{0}$ содержится интервал, на котором функция $\psi_{1}$, а значит, и все се производные обращаются в нуль. Следовательно, $\psi_{1}(x_{0}) = \psi_{1}^{\prime}(x_{0}) = \psi_{1}^{\prime \prime} (x_{0}) = \cdots = 0$. Аналогично, $\psi_{2}(x_{0}) = \psi_{2}^{\prime} = \psi_{2}^{\prime \prime} = \cdots = 0$.
Любая функция $f \in C^{\infty}(M)$, как было доказано, представима в виде $f_{1} \phi_{1} + f_{2} \phi_{2} + c$. Отсюда следует, что любую функцию $g \in C^{\infty}(\mathbf{R})$ можно представить в виде $g_{1} \psi_{1} + g_{2} \psi_{2} + c$. Но таким образом нельзя представить функцию $g_{0}(x) \equiv x$: из условий $\psi_{1}(x_{0}) = \psi_{1}^{\prime}(x_{0}) = 0, \psi_{2}(x_{0}) = \psi_{2}^{\prime}(x_{0}) = 0$ вытекает, что $(g_{1} \psi_{1})(x_{0}) = (g_{1} \psi_{1})^{\prime}(x_{0}) = 0, (g_{2} \psi_{2}) (x_{0}) = (g_{2} \psi_{2})^{\prime}(x_{0}) = 0$ и, стало быть, $(g_{1} \psi_{1} + g_{2} \psi_{2} + c)^{\prime}(x_{0}) = 0$, в то время как $g_{0}^{\prime}(x_{0}) = 1$. Это противоречие показывает, что изоморфизма колец не существует.
Обозначим через $M$ график функции $y = |x|$ (будем рассматривать $M$ как подмножество $\mathbf{R}^{2}$). Через $C^{\infty}(M)$ обозначим кольцо функций на $M$, являющихся ограничениями функций из $C^{\infty}(\mathbf{R}^{2})$. Доказать, что не существует $\mathbf{R}$ -линейного изоморфизма колец $C^{\infty}(M)$ и $C^{\infty}(\mathbf{R})$.
Решение:
Обозначим
$ \phi_{1}(x,y) = \frac{x + y}{2} = \begin{cases}
x,&\text{если} (x,y) \in M, x \geq 0,\\
0,&\text{если} (x,y) \in M, x < 0,
\end{cases}
$
$ \phi_{2}(x,y) = \frac{x - y}{2} = \begin{cases}
x,&\text{если} (x,y) \in M, x \leq 0,\\
0,&\text{если} (x,y) \in M, x > 0,
\end{cases}
$
Очевидно, $\phi_{1}$ и $\phi_{2}$ принадлежат $C^{\infty}(M)$. Покажем, что любая функция $f \in C^{\infty}(M)$ представима в виде $f_{1}\phi_{1} + f_{2}\phi_{2} + c$, где $f_{1} \in C^{\infty}(M), f_{2} \in C^{\infty}(M), c = f(0, 0)$.
Положим $g_{1}(x) = f(x, x) - c, g_{2}(x) = f(x, -x) – c$. Так как $g_{1}(0) = G_{2}(0) = 0, g_{1} \in C^{\infty}(\mathbf{R}), g_{2} \in C^{\infty}(\mathbf{R})$, то в силу результата задачи 586 $g_{1}(x)= xG_{1}(x), g_{2}(x) = xG_{2}(x)$, где $G_{1} \in C^{\infty}(\mathbf{R}), G_{2} \in C^{\infty}(\mathbf{R})$. Полагая $f_{j}(x, y) =G_{j}(x) (j = 1, 2)$, мы получаем искомые функции $f_{1}$ и $f_{2}$.
Допустим, что существует $\mathbf{R}$ - линейный изоморфизм $ C^{\infty}(M) \overset{\tau}{\rightarrow} C^{\infty}(\mathbf{R})$. Обозначим через $\mathbf{1}$ функцию из $ C^{\infty}(M)$ или $ C^{\infty}(\mathbf{R})$, тождественно равную единице. Имеем $\mathbf{1} \cdot f = f$ для любой $f \in C^{\infty}(M)$, поэтому $\tau(\mathbf{1}) \cdot f = f$ для любой функции $f \in C^{\infty}(\mathbf{R})$, откуда следует, что $\tau( \mathbf{1} ) = 1$. Поэтому $\tau(c \cdot \mathbf{1} = c \cdot \mathbf{1}$ для любого числа $c$, т. е. отображение $tau$ переводит любую константу в ту же самую константу.
Обозначим теперь $\psi_{j} = \tau(\phi_{j}) \in C^{\infty}(\mathbf{R}) (j = 1, 2)$. Имеем $\psi_{1} \psi_{2} = \tau, (\phi_{1} \phi_{2}) = 0$. Обозначим через $U_{j}$ внутренность носителя функции $\psi_{j} (j = 1, 2)$. Из условия $\psi_{1} \psi_{2} = 0$ вытекает, что $U_{1} \bigcap U_{2} = 0$. (Действительно, в противном случае существовал бы отрезок $[a, b] \subset U_{1} \bigcap U_{2}, a < b$. Так как $[a, b] \subset supp \psi_{1}$ и $[a, b] \subset supp \psi_{2}$, то множества точек $\{ x \in [a, b] : \psi_{j}(x) = 0 \} (j = 1, 2)$ нигде не плотны в $[a, b]$, а поэтому найдется точка $x \in [a, b]$ такая, что $\psi_{1}(x) \neq 0, \psi_{2} (x) \neq 0$). Так как $U_{1}$ и $U_{2}$ - непустые открытые множества и $U_{1} \bigcap U_{2} = \varnothing$, то найдется точка $x_{0} \in \mathbf{R}$ такая, что $x_{0} \overline{\in} U_{1} \bigcup U_{2}$. Из условия $x_{0} \overline{\in} U_{1}$ следует, что в любой окрестности $x_{0}$ содержится интервал, на котором функция $\psi_{1}$, а значит, и все се производные обращаются в нуль. Следовательно, $\psi_{1}(x_{0}) = \psi_{1}^{\prime}(x_{0}) = \psi_{1}^{\prime \prime} (x_{0}) = \cdots = 0$. Аналогично, $\psi_{2}(x_{0}) = \psi_{2}^{\prime} = \psi_{2}^{\prime \prime} = \cdots = 0$.
Любая функция $f \in C^{\infty}(M)$, как было доказано, представима в виде $f_{1} \phi_{1} + f_{2} \phi_{2} + c$. Отсюда следует, что любую функцию $g \in C^{\infty}(\mathbf{R})$ можно представить в виде $g_{1} \psi_{1} + g_{2} \psi_{2} + c$. Но таким образом нельзя представить функцию $g_{0}(x) \equiv x$: из условий $\psi_{1}(x_{0}) = \psi_{1}^{\prime}(x_{0}) = 0, \psi_{2}(x_{0}) = \psi_{2}^{\prime}(x_{0}) = 0$ вытекает, что $(g_{1} \psi_{1})(x_{0}) = (g_{1} \psi_{1})^{\prime}(x_{0}) = 0, (g_{2} \psi_{2}) (x_{0}) = (g_{2} \psi_{2})^{\prime}(x_{0}) = 0$ и, стало быть, $(g_{1} \psi_{1} + g_{2} \psi_{2} + c)^{\prime}(x_{0}) = 0$, в то время как $g_{0}^{\prime}(x_{0}) = 1$. Это противоречие показывает, что изоморфизма колец не существует.
