Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 622
2014-06-08 
Пусть $f(x, y) \in C^{\infty}(\mathbf{R}^{2})$ и $\alpha > 0$ - иррациональное число. Доказать, что если $f(x, x^{\alpha}) = o(x^{n}) (x \rightarrow 0 + )$ при любом $n \in \mathbf{N}$, то и $f(x, y) = o(|x|^{n} + |y|^{n}) (x, y \rightarrow 0)$ при любом $n \in \mathbf{N}$.
Решение:
Докажем, что $\left. \frac{\partial^{k+l}f}{\partial x^{k} \partial y^{l}} \right |_{(0,0)} = 0$ для всех $k \in \mathbf{Z}_{+}, l \in \mathbf{Z}_{+}$. Возьмем такое натуральное $n$, что $n > k + \alpha l, \alpha n > k + \alpha l$. Запишем для $f$ формулу Тейлора
$f(x, y) = \sum_{k_{1} = 0}^{n} \sum_{k_{2} = 0}^{n} \left. \frac{\partial^{k_{1}+k_{2}}}{\partial x^{k_{1}} \partial y^{k_{2}}} \right |_{(0,0)} \cdot \frac{x^{k_{1}}u^{k_{2}}}{k_{1}!k_{2}!} + o(|x|^{n}) + o(|y|^{n}) (x \rightarrow 0, y \rightarrow 0)$.
Подставляя $y = x^{\alpha}$, получаем
$f(x, x^{\alpha}) = \sum_{k_{1} = 0}^{n} \sum_{k_{2} = 0}^{n} \frac{1}{k_{1}!k_{2}!} \left. \frac{\partial^{k_{1}+k_{2}}}{\partial x^{k_{1}} \partial y^{k_{2}}} \right |_{(0,0)} x^{k_{1} + \alpha k_{2}} + R$,
где $R = o(|x|^{n} + |x|^{\alpha n}) = o(x^{k +\alpha l})(x \rightarrow 0 +)$. Отсюда и из условия $f(x, x^{\alpha}) = o(x^{k + \alpha l})$ следует, что
$\sum_{k_{1} = 0}^{n} \sum_{k_{2} = 0}^{n} \frac{1}{k_{1}!k_{2}!} \left. \frac{\partial^{k_{1}+k_{2}}}{\partial x^{k_{1}} \partial y^{k_{2}}} \right |_{(0,0)} x^{k_{1} + \alpha k_{2}} = o(x^{k+ \alpha l}) (x \rightarrow 0 +)$.
Значит, в левой части последнего равенства коэффициент при $x^{k + \alpha l}$ равен 0, т. е.
$\sum_{0 \leq k_{1} \leq n, 0 \leq k_{2} \leq n, k_{1} + \alpha k_{2} = k +\alpha l} \frac{1}{k_{1}!k_{2}!} \left. \frac{\partial^{k_{1}+k_{2}}}{\partial x^{k_{1}} \partial y^{k_{2}}} \right |_{(0,0)} = 0$.
Но в силу иррациональности $\alpha$ равенство $k_{1} + \alpha k_{2} = k + \alpha l$ имеет место только при $k_{1} = k, k_{2} = l$. Следовательно,
$\left. \frac{\partial^{k + l}}{\partial x^{k} \partial y^{l}} \right |_{(0,0)} = 0$.
Из равенства нулю всех производных функции $f$ в точке (0,0), по формуле Тейлора легко следует, что $f(x, y) = o(|x|^{n} + |y|^{m})$ при $x \rightarrow 0, y \rightarrow 0$.
Пусть $f(x, y) \in C^{\infty}(\mathbf{R}^{2})$ и $\alpha > 0$ - иррациональное число. Доказать, что если $f(x, x^{\alpha}) = o(x^{n}) (x \rightarrow 0 + )$ при любом $n \in \mathbf{N}$, то и $f(x, y) = o(|x|^{n} + |y|^{n}) (x, y \rightarrow 0)$ при любом $n \in \mathbf{N}$.
Решение:
Докажем, что $\left. \frac{\partial^{k+l}f}{\partial x^{k} \partial y^{l}} \right |_{(0,0)} = 0$ для всех $k \in \mathbf{Z}_{+}, l \in \mathbf{Z}_{+}$. Возьмем такое натуральное $n$, что $n > k + \alpha l, \alpha n > k + \alpha l$. Запишем для $f$ формулу Тейлора
$f(x, y) = \sum_{k_{1} = 0}^{n} \sum_{k_{2} = 0}^{n} \left. \frac{\partial^{k_{1}+k_{2}}}{\partial x^{k_{1}} \partial y^{k_{2}}} \right |_{(0,0)} \cdot \frac{x^{k_{1}}u^{k_{2}}}{k_{1}!k_{2}!} + o(|x|^{n}) + o(|y|^{n}) (x \rightarrow 0, y \rightarrow 0)$.
Подставляя $y = x^{\alpha}$, получаем
$f(x, x^{\alpha}) = \sum_{k_{1} = 0}^{n} \sum_{k_{2} = 0}^{n} \frac{1}{k_{1}!k_{2}!} \left. \frac{\partial^{k_{1}+k_{2}}}{\partial x^{k_{1}} \partial y^{k_{2}}} \right |_{(0,0)} x^{k_{1} + \alpha k_{2}} + R$,
где $R = o(|x|^{n} + |x|^{\alpha n}) = o(x^{k +\alpha l})(x \rightarrow 0 +)$. Отсюда и из условия $f(x, x^{\alpha}) = o(x^{k + \alpha l})$ следует, что
$\sum_{k_{1} = 0}^{n} \sum_{k_{2} = 0}^{n} \frac{1}{k_{1}!k_{2}!} \left. \frac{\partial^{k_{1}+k_{2}}}{\partial x^{k_{1}} \partial y^{k_{2}}} \right |_{(0,0)} x^{k_{1} + \alpha k_{2}} = o(x^{k+ \alpha l}) (x \rightarrow 0 +)$.
Значит, в левой части последнего равенства коэффициент при $x^{k + \alpha l}$ равен 0, т. е.
$\sum_{0 \leq k_{1} \leq n, 0 \leq k_{2} \leq n, k_{1} + \alpha k_{2} = k +\alpha l} \frac{1}{k_{1}!k_{2}!} \left. \frac{\partial^{k_{1}+k_{2}}}{\partial x^{k_{1}} \partial y^{k_{2}}} \right |_{(0,0)} = 0$.
Но в силу иррациональности $\alpha$ равенство $k_{1} + \alpha k_{2} = k + \alpha l$ имеет место только при $k_{1} = k, k_{2} = l$. Следовательно,
$\left. \frac{\partial^{k + l}}{\partial x^{k} \partial y^{l}} \right |_{(0,0)} = 0$.
Из равенства нулю всех производных функции $f$ в точке (0,0), по формуле Тейлора легко следует, что $f(x, y) = o(|x|^{n} + |y|^{m})$ при $x \rightarrow 0, y \rightarrow 0$.
