Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 620
2014-06-08 
Функция $f(x, y)$ непрерывна вместе со своими производными по $x$ и по $y$ и удовлетворяет условиям: $f(0,0) = 0, |\partial f / \partial x| \leq 2|x - y|, |\partial f / \partial y| \leq 2|x - y|$. Доказать, что $| f(5, 4)| \leq 1$.
Решение:
Из условия задачи следует, что $\partial f / \partial x = \partial f / \partial y = 0$ в любой точке $(x, y)$ с $x = y$. Поэтому
$f(4.4) = \int_{[(0,0),(4,4)]} \left ( \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy \right ) + f(0, 0) = 0$,
$|f(5, 4)| = \left | \int_{4}^{5} \frac{\partial f(x,4)}{\partial x} + f(4,4) \right | \leq \int_{4}^{5} \left | \frac{\partial f(x, 4)}{\partial x} \right | dx \leq \int_{4}^{5} 2 (x-4)dx = 1$,
что и требовалась доказать.
Функция $f(x, y)$ непрерывна вместе со своими производными по $x$ и по $y$ и удовлетворяет условиям: $f(0,0) = 0, |\partial f / \partial x| \leq 2|x - y|, |\partial f / \partial y| \leq 2|x - y|$. Доказать, что $| f(5, 4)| \leq 1$.
Решение:
Из условия задачи следует, что $\partial f / \partial x = \partial f / \partial y = 0$ в любой точке $(x, y)$ с $x = y$. Поэтому
$f(4.4) = \int_{[(0,0),(4,4)]} \left ( \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy \right ) + f(0, 0) = 0$,
$|f(5, 4)| = \left | \int_{4}^{5} \frac{\partial f(x,4)}{\partial x} + f(4,4) \right | \leq \int_{4}^{5} \left | \frac{\partial f(x, 4)}{\partial x} \right | dx \leq \int_{4}^{5} 2 (x-4)dx = 1$,
что и требовалась доказать.
