ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2014-06-08   
Пусть $f: \mathbf{R}^{m} \rightarrow \mathbf{R}^{n}$ - такое непрерывное отображение, что
$sup_{x,y \in \mathbf{R}^{m}} \| f(x+y) – f(x) – f(y) \| < \infty$.
Доказать, что существует единственное линейное отображение $g: \mathbf{R}^{m} \rightarrow \mathbf{R}^{n}$ такое, что
$sup_{x \in \mathbf{R}^{m}} \| f(x) – g(x) \| < \infty$.


Решение:


Пусть $c = sup_{x,y \in \mathbf{R}^{m}} \| f(x+y) –f(x) – f(y) \|$.
По условию $c < \infty$. Имеем
$\| f(nx) – nf(x) \| = \| (f(nx) – f((n-1)x) – f(x)) + (f(( n -1) x) – f((n-2) x) – f(x)) + \cdots + (f(2x) – f(x) – f(x)) \| \leq \| f(nx) – f((n-1)x) – f(x) \| + \| f((n-1)x) – f((n-2)x) – f(x) \| + \cdots \| f(2x) – f(x) – f(x) \| \leq c(n-1) \leq cn$.
Из неравенств
$\| f(mnx) – mf(nx) \| \leq cm$,
$\| f(mnx) – nf(mx) \| \leq cn$
следует, что $\| mf(nx) – nf(mx) \| \leq c (m+n)$, т. е.
$\| f(mx)/m – f(nx)/n \| \leq c (1/m + 1/n)$.
Значит, существует предел $g(x) = lim_{n \rightarrow \infty} \frac{f(nx)}{n}$. Покажем, что функция $g(x)$ - искомая.
Переходя в неравенстве $\| f(mx)/m - f(nx)/n \| \leq c( 1 /m – 1/n)$ к пределу при $m \rightarrow \infty$, мы получаем, что $\| f(nx)/n - g(x) \| \leq x/n$. Значит,
$\frac{f(nx)}{n} \overset{\overset{n \rightarrow \infty}{\rightarrow}}{\rightarrow} g(x)$
и $g$ непрерывна; кроме того, $\| f(x) – g(x) \| \leq c$. Проверим, что отображение $g$ линейно. В силу непрерывности $g$ достаточно убедиться, что $g(x + y) = g(x) + g(y)$. Это верно, так как
$\| g(x + y) – g(x) – g()y \| = lim_{n \rightarrow \infty} \left \| \frac{f(nx + ny) – f(nx) – f(ny)}{n} \right \| \leq lim_{ n \rightarrow \infty } \frac{c}{n} = 0$.
Единственность $g$ следует из того, что разность двух линейных отображений неограничена.