Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 618
2014-06-08 
Пусть $S$ - линейное подпространство в $L^{\infty}[0, 1], M$ - положительное число. Известно, что для любой функции $f \in S$ выполняется неравенство
$\| f \|_{L^{\infty}} \leq M \| f \|_{L^{2}}$.
Доказать, что $dim S \leq M^{2}$.
Решение:
Предположим, что в пространстве $S$ найдется $n$ линейно независимых функций. Можно считать, что они образуют ортонормированную в смысле $L^{2}[0, 1]$ систему, в противном случае следует применить процесс ортогонализации. Итак, пусть $f_{1}, \cdots, f_{n} \in S$, причем $\int_{0}^{1} f_{k}(x)^{2}dx = 1, \int_{0}^{1} f_{k}(x)f_{m}(x) = 0$ при $k \neq m (k, m = 1, 2, \cdots, n$). Тогда для любых чисел $\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n}$ имеем
$\| \alpha_{1}f_{1} + \cdots + \alpha_{n}f_{n} \|^{2}_{L^{3}} = \alpha_{1}^{2} + \cdots + \alpha_{n}^{2}$.
Из условия задачи следует, что
$\| \alpha_{1}f_{1} + \cdots + \alpha_{n}f_{n} \|^{2}_{L^{\infty}} \leq M^{2}(\alpha_{1}^{2}+ \cdots + \alpha_{n}^{2})$,
или, что то же самое, при почти всех $x \in [0, 1]$ имеем
$\alpha_{1}f_{1}(x) + \cdots + \alpha_{n}f_{n}(x) \leq M \sqrt{\alpha_{1}^{2} + \cdots + \alpha_{n}^{2}}$. (1)
При этом множество полной меры, на котором выполняется неравенство (1), можно взять не зависящим от $\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n}$: этим свойством обладает, например, множество чисел $x$, в которых все функции $f_{1}, \cdots, f_{n}$ являются производными от своего интеграла Лебега по верхнему пределу.
Взяв в неравенстве (1) в качестве $\alpha_{i}$ числа $\alpha_{i} = f_{i}(x)$, для почти всех $x \in [0, 1]$ имеем
$f_{1}(x)^{2} + \cdots + f_{n}(x)^{2} \leq M \sqrt{f_{1}(x)^{2} + \cdots + f_{n}(x)^{2}}$,
откуда
$\sqrt{f_{1}(x)^{2} + \cdots + f_{n}(x)^{2}} \leq M$,
$f_{1}(x)^{2} + \cdots + f_{n}(x)^{2} \leq M^{2}$.
Интегрируя это неравенство по отрезку $[0, 1]$, найдем $n \leq M^{2}$, что и требовалось доказать.
Пусть $S$ - линейное подпространство в $L^{\infty}[0, 1], M$ - положительное число. Известно, что для любой функции $f \in S$ выполняется неравенство
$\| f \|_{L^{\infty}} \leq M \| f \|_{L^{2}}$.
Доказать, что $dim S \leq M^{2}$.
Решение:
Предположим, что в пространстве $S$ найдется $n$ линейно независимых функций. Можно считать, что они образуют ортонормированную в смысле $L^{2}[0, 1]$ систему, в противном случае следует применить процесс ортогонализации. Итак, пусть $f_{1}, \cdots, f_{n} \in S$, причем $\int_{0}^{1} f_{k}(x)^{2}dx = 1, \int_{0}^{1} f_{k}(x)f_{m}(x) = 0$ при $k \neq m (k, m = 1, 2, \cdots, n$). Тогда для любых чисел $\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n}$ имеем
$\| \alpha_{1}f_{1} + \cdots + \alpha_{n}f_{n} \|^{2}_{L^{3}} = \alpha_{1}^{2} + \cdots + \alpha_{n}^{2}$.
Из условия задачи следует, что
$\| \alpha_{1}f_{1} + \cdots + \alpha_{n}f_{n} \|^{2}_{L^{\infty}} \leq M^{2}(\alpha_{1}^{2}+ \cdots + \alpha_{n}^{2})$,
или, что то же самое, при почти всех $x \in [0, 1]$ имеем
$\alpha_{1}f_{1}(x) + \cdots + \alpha_{n}f_{n}(x) \leq M \sqrt{\alpha_{1}^{2} + \cdots + \alpha_{n}^{2}}$. (1)
При этом множество полной меры, на котором выполняется неравенство (1), можно взять не зависящим от $\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n}$: этим свойством обладает, например, множество чисел $x$, в которых все функции $f_{1}, \cdots, f_{n}$ являются производными от своего интеграла Лебега по верхнему пределу.
Взяв в неравенстве (1) в качестве $\alpha_{i}$ числа $\alpha_{i} = f_{i}(x)$, для почти всех $x \in [0, 1]$ имеем
$f_{1}(x)^{2} + \cdots + f_{n}(x)^{2} \leq M \sqrt{f_{1}(x)^{2} + \cdots + f_{n}(x)^{2}}$,
откуда
$\sqrt{f_{1}(x)^{2} + \cdots + f_{n}(x)^{2}} \leq M$,
$f_{1}(x)^{2} + \cdots + f_{n}(x)^{2} \leq M^{2}$.
Интегрируя это неравенство по отрезку $[0, 1]$, найдем $n \leq M^{2}$, что и требовалось доказать.
