Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 617
2014-06-08 
Пусть $f(x)$ - непрерывная функция такая, что для любого целого числа $m$
$\int_{0}^{1} f(x + m)dx = 0$.
Доказать, что найдется непрерывная функция $g(x)$ такая, что
$f(x) = \frac{d}{dx} (g(x) \sin \pi x)$.
Решение:
Положим $F(x) =\int_{0}^{x}f(t)dt$. Тогда для целого $n$ имеем
$F(n+1) – F(n) = \int_{n}^{n+1}f(t)dt = \int_{0}^{1}f(x + n)dx = 0$.
Так как $F(0) = 0$, то $F(n) = 0$ для всех целых $n$ и при этом
$lim_{x \rightarrow n} \frac{F(x)}{\sin \pi x} = lim_{x \rightarrow n} \frac{F(x)-F(n)}{x - n} lim_{x \rightarrow n} \frac{x - n}{ \sin \pi x} = f(n) \frac{(-1)^{n}}{n} (n \in \mathbf{Z})$.
Поэтому функция
$g(x) = \begin{cases} \frac{F(x)}{\sin \pi x},& x \overline{\in} \mathbf{Z} \\
f(x) \cdot \frac{(-1)^{x}}{\pi},& x \in \mathbf{Z}
\end{cases}$
непрерывна и удовлетворяет тождеству $F(x) \equiv g(x) \sin \pi x$, т. е. $f(x) = \frac{d}{dx}(g(x) \sin \pi x)$.
Пусть $f(x)$ - непрерывная функция такая, что для любого целого числа $m$
$\int_{0}^{1} f(x + m)dx = 0$.
Доказать, что найдется непрерывная функция $g(x)$ такая, что
$f(x) = \frac{d}{dx} (g(x) \sin \pi x)$.
Решение:
Положим $F(x) =\int_{0}^{x}f(t)dt$. Тогда для целого $n$ имеем
$F(n+1) – F(n) = \int_{n}^{n+1}f(t)dt = \int_{0}^{1}f(x + n)dx = 0$.
Так как $F(0) = 0$, то $F(n) = 0$ для всех целых $n$ и при этом
$lim_{x \rightarrow n} \frac{F(x)}{\sin \pi x} = lim_{x \rightarrow n} \frac{F(x)-F(n)}{x - n} lim_{x \rightarrow n} \frac{x - n}{ \sin \pi x} = f(n) \frac{(-1)^{n}}{n} (n \in \mathbf{Z})$.
Поэтому функция
$g(x) = \begin{cases} \frac{F(x)}{\sin \pi x},& x \overline{\in} \mathbf{Z} \\
f(x) \cdot \frac{(-1)^{x}}{\pi},& x \in \mathbf{Z}
\end{cases}$
непрерывна и удовлетворяет тождеству $F(x) \equiv g(x) \sin \pi x$, т. е. $f(x) = \frac{d}{dx}(g(x) \sin \pi x)$.
