Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 616
2014-06-08 
Пусть $u(x)$ - положительная непрерывная функция, определенная на $[0, + \infty)$, причем
$\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{u(x)} < \infty$.
Доказать, что
$lim_{A \rightarrow \infty} \frac{1}{A^{2}} \int_{0}^{A} u(x) dx = \infty$.
Решение:
Решение основано на неравенстве Коши - Буняковского; при $A > B > 0$ имеем
$\int_{0}^{B} u(x)dx \int_{A}^{B} \frac{dx}{u(x)} \geq \left ( \int_{A}^{B} \sqrt{u(x) \frac{1}{u(x)}} dx \right )^{2} = (B - A)^{2}$.
Положив $A = 2B$, получим
$\frac{1}{B^{2}} \int_{B}^{2B} u(x) dx \int_{B}^{2B} \frac{dx}{u(x)} \geq 1$.
Так как $\int_{B}^{2B} \frac{dx}{u(x)} \rightarrow 0$ при $B \rightarrow \infty$, то
$\frac{1}{B^{2}} \int_{B}^{2B} u(x)dx \rightarrow 0$,
откуда и получим искомое утверждение.
Пусть $u(x)$ - положительная непрерывная функция, определенная на $[0, + \infty)$, причем
$\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{u(x)} < \infty$.
Доказать, что
$lim_{A \rightarrow \infty} \frac{1}{A^{2}} \int_{0}^{A} u(x) dx = \infty$.
Решение:
Решение основано на неравенстве Коши - Буняковского; при $A > B > 0$ имеем
$\int_{0}^{B} u(x)dx \int_{A}^{B} \frac{dx}{u(x)} \geq \left ( \int_{A}^{B} \sqrt{u(x) \frac{1}{u(x)}} dx \right )^{2} = (B - A)^{2}$.
Положив $A = 2B$, получим
$\frac{1}{B^{2}} \int_{B}^{2B} u(x) dx \int_{B}^{2B} \frac{dx}{u(x)} \geq 1$.
Так как $\int_{B}^{2B} \frac{dx}{u(x)} \rightarrow 0$ при $B \rightarrow \infty$, то
$\frac{1}{B^{2}} \int_{B}^{2B} u(x)dx \rightarrow 0$,
откуда и получим искомое утверждение.
