Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 615
2014-06-08 
Существует ли положительная монотонно возрастающая функция $f(x), x \geq 0$, такая, что для любого $y > 0$
а) $\int_{0}^{y}f(x)^{2} dx \geq \left ( \int_{0}^{y} f(x) dx \right )^{2}$;
б) $\int_{0}^{y}f(x)^{2} dx \geq \left ( \int_{0}^{y} f(x) dx \right )^{2,01}$?
Решение:
а) Проверим, что функция $f(x) = e^{e^{x+1}}e^{x+1}$ удовлетворяет условию. Действительно, $\int_{0}^{y} f(x)dx = \int_{0}^{y} e^{e^{x+1}}de^{x+1} = \left. e^{e^{x+1}} \right |_{0}^{y} = e^{e^{y+1}} – e^{e}$; далее,
$\int_{0}^{y} f(x)^{2} dx = \int_{0}^{y} e^{2e^{x+1}}e^{2(x+1)}dx \geq \int_{0}^{y} e^{2e^{x+1}}2e^{x+1}dx = \left. e^{2e^{x+1}} \right |_{0}^{y} = e^{2e^{y+1}} – e^{2e}$.
Здесь мы воспользовались тем, что $e^{2(x + 1)} \geq e e^{x+1} \geq 2e^{x+1}$. Очевидное неравенство
$e^{2z} – e^{2e} \geq (e^{z} – e^{e})^{2}$,
где $z = e^{y+1}$ завершает доказательство.
б) Из монотонности функции $f(x)$ следует, что
$\int_{0}^{y} f^{2}(x)dx \leq f(y) \int_{0}^{y}f(x)dx$.
Сравнивая с неравенством, данным в условии, находим
$f(y) \geq \left ( \int_{0}^{y} f(x) dx \right )^{1,01}$.
Полагая $F(y) = \int_{0}^{y} f(x)dx$, получим
$F^{\prime}(y) \geq F(y)^{1,01}$
Далее, повторяя рассуждение из решения задачи Задача по математике 614, придем к противоречию. Следовательно, искомой функции $f$ не существует.
Существует ли положительная монотонно возрастающая функция $f(x), x \geq 0$, такая, что для любого $y > 0$
а) $\int_{0}^{y}f(x)^{2} dx \geq \left ( \int_{0}^{y} f(x) dx \right )^{2}$;
б) $\int_{0}^{y}f(x)^{2} dx \geq \left ( \int_{0}^{y} f(x) dx \right )^{2,01}$?
Решение:
а) Проверим, что функция $f(x) = e^{e^{x+1}}e^{x+1}$ удовлетворяет условию. Действительно, $\int_{0}^{y} f(x)dx = \int_{0}^{y} e^{e^{x+1}}de^{x+1} = \left. e^{e^{x+1}} \right |_{0}^{y} = e^{e^{y+1}} – e^{e}$; далее,
$\int_{0}^{y} f(x)^{2} dx = \int_{0}^{y} e^{2e^{x+1}}e^{2(x+1)}dx \geq \int_{0}^{y} e^{2e^{x+1}}2e^{x+1}dx = \left. e^{2e^{x+1}} \right |_{0}^{y} = e^{2e^{y+1}} – e^{2e}$.
Здесь мы воспользовались тем, что $e^{2(x + 1)} \geq e e^{x+1} \geq 2e^{x+1}$. Очевидное неравенство
$e^{2z} – e^{2e} \geq (e^{z} – e^{e})^{2}$,
где $z = e^{y+1}$ завершает доказательство.
б) Из монотонности функции $f(x)$ следует, что
$\int_{0}^{y} f^{2}(x)dx \leq f(y) \int_{0}^{y}f(x)dx$.
Сравнивая с неравенством, данным в условии, находим
$f(y) \geq \left ( \int_{0}^{y} f(x) dx \right )^{1,01}$.
Полагая $F(y) = \int_{0}^{y} f(x)dx$, получим
$F^{\prime}(y) \geq F(y)^{1,01}$
Далее, повторяя рассуждение из решения задачи Задача по математике 614, придем к противоречию. Следовательно, искомой функции $f$ не существует.
