Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 612
2014-06-08 
Функция $f(x)$ имеет непрерывную производную на $[0, + \infty)$, причем
$\int_{0}^{\infty} |f^{\prime}(x)| dx < \infty$
Доказать, что ряд $\sum_{n=0}^{\infty}f(n)$ сходится тогда и только тогда, когда сходится интеграл
$\int_{0}^{\infty} f(x) dx$.
Решение:
Заметим, что из условия
$\int_{0}^{\infty} |f^{\prime}(x)| dx < \infty$
следует, что существует конечный $lim_{x \rightarrow \infty} f(x)$. Действительно, при $x < y$ имеем
$|f(x) – f(y)| = \left | \int_{x}^{y} f^{\prime}(t)dt \right | \leq \int_{x}^{y} |f^{\prime}(t)| dt$.
По критерию Коши последний интеграл стремится к нулю при $x, y \rightarrow \infty$, откуда, опять же по критерию Коши, получаем существование $lim_{x \rightarrow \infty} f(x)$.
Если этот предел не равен нулю, то и ряд $\sum_{n=1}^{\infty}f(n)$, и интеграл $\int_{0}^{\infty} f(x) dx$ расходятся. Пусть $lim_{x \rightarrow} f(x) = 0$. Тогда интеграл $ \int_{0}^{\infty} f(x)dx$ сходится тогда и только тогда, когда существует предел последовательности
$I_{n} = \int_{0}^{n} f(x)dx$
при $n \rightarrow \infty$ (где $n$ - целое). Действительно, интегралы сходятся, если существует предел
$lim_{y \rightarrow \infty} \int_{0}^{y} f(x)dx$,
причем $y$ - любое действительное число, а не только целое. Но если $f(x) \rightarrow 0$ при $x \rightarrow \infty$, то разность интегралов
$\int_{0}^{y} f(x)dx - \int_{0}^{[y]} f(x)dx = \int_{[y]}^{y}f(x)dx$
стремится к нулю при $y \rightarrow \infty$, поэтому можно ограничиться пределом по целым $y$. Пусть $S_{n} = \sum_{k=0}^{n}f(k)$ - частичная сумма рассматриваемого ряда. Задача будет решена, если мы докажем, что существует конечный предел
$lim_{n \rightarrow \infty} (I_{n} – S_{n})$.
Имеем
$I_{n} – S_{n} = \sum_{k=0}^{n-1} \int_{k}^{k+1} f(x)dx - \sum_{k=0}^{n-1} f(k) = \sum_{k=0}^{n-1} \int_{k}^{k+1} (f(x) – f(k)) dx = \sum_{k=0}^{n-1} \int_{k}^{k+1} \left ( \int_{k}^{x} f^{\prime}(y)dy \right ) dx$.
Положим $a_{k} = \int_{k}^{k+1} \left ( \int_{k}^{x} f^{\prime}(y) dy \right ) dx$. Имеем очевидную оценку:
$|a_{k}| \leq \int_{k}^{k+1} \left ( \int_{k}^{k+1} |f^{\prime}(y)| dy \right ) dx = \int_{k}^{k+1} |f^{\prime}(y)|dy$.
В силу условия задачи получим, что ряд $\sum_{k=0}^{\infty} |a_{k}|$ сходится. Но тогда сходится и ряд $\sum_{k=0}^{\infty} a_{k}$. Заметив, что $I_{n} – S_{n}$ является частичной суммой этого ряда, получим существование предела $lim_{n \rightarrow \infty}(I_{n} – S_{n})$.
Функция $f(x)$ имеет непрерывную производную на $[0, + \infty)$, причем
$\int_{0}^{\infty} |f^{\prime}(x)| dx < \infty$
Доказать, что ряд $\sum_{n=0}^{\infty}f(n)$ сходится тогда и только тогда, когда сходится интеграл
$\int_{0}^{\infty} f(x) dx$.
Решение:
Заметим, что из условия
$\int_{0}^{\infty} |f^{\prime}(x)| dx < \infty$
следует, что существует конечный $lim_{x \rightarrow \infty} f(x)$. Действительно, при $x < y$ имеем
$|f(x) – f(y)| = \left | \int_{x}^{y} f^{\prime}(t)dt \right | \leq \int_{x}^{y} |f^{\prime}(t)| dt$.
По критерию Коши последний интеграл стремится к нулю при $x, y \rightarrow \infty$, откуда, опять же по критерию Коши, получаем существование $lim_{x \rightarrow \infty} f(x)$.
Если этот предел не равен нулю, то и ряд $\sum_{n=1}^{\infty}f(n)$, и интеграл $\int_{0}^{\infty} f(x) dx$ расходятся. Пусть $lim_{x \rightarrow} f(x) = 0$. Тогда интеграл $ \int_{0}^{\infty} f(x)dx$ сходится тогда и только тогда, когда существует предел последовательности
$I_{n} = \int_{0}^{n} f(x)dx$
при $n \rightarrow \infty$ (где $n$ - целое). Действительно, интегралы сходятся, если существует предел
$lim_{y \rightarrow \infty} \int_{0}^{y} f(x)dx$,
причем $y$ - любое действительное число, а не только целое. Но если $f(x) \rightarrow 0$ при $x \rightarrow \infty$, то разность интегралов
$\int_{0}^{y} f(x)dx - \int_{0}^{[y]} f(x)dx = \int_{[y]}^{y}f(x)dx$
стремится к нулю при $y \rightarrow \infty$, поэтому можно ограничиться пределом по целым $y$. Пусть $S_{n} = \sum_{k=0}^{n}f(k)$ - частичная сумма рассматриваемого ряда. Задача будет решена, если мы докажем, что существует конечный предел
$lim_{n \rightarrow \infty} (I_{n} – S_{n})$.
Имеем
$I_{n} – S_{n} = \sum_{k=0}^{n-1} \int_{k}^{k+1} f(x)dx - \sum_{k=0}^{n-1} f(k) = \sum_{k=0}^{n-1} \int_{k}^{k+1} (f(x) – f(k)) dx = \sum_{k=0}^{n-1} \int_{k}^{k+1} \left ( \int_{k}^{x} f^{\prime}(y)dy \right ) dx$.
Положим $a_{k} = \int_{k}^{k+1} \left ( \int_{k}^{x} f^{\prime}(y) dy \right ) dx$. Имеем очевидную оценку:
$|a_{k}| \leq \int_{k}^{k+1} \left ( \int_{k}^{k+1} |f^{\prime}(y)| dy \right ) dx = \int_{k}^{k+1} |f^{\prime}(y)|dy$.
В силу условия задачи получим, что ряд $\sum_{k=0}^{\infty} |a_{k}|$ сходится. Но тогда сходится и ряд $\sum_{k=0}^{\infty} a_{k}$. Заметив, что $I_{n} – S_{n}$ является частичной суммой этого ряда, получим существование предела $lim_{n \rightarrow \infty}(I_{n} – S_{n})$.
