Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 611
2014-06-08 
Функция $u(x)$ непрерывно дифференцируема на полуоси $(0, + \infty)$, причем $u > 0,u^{\prime} > 0$. Доказать, что если
$\int_{1}^{\infty} \frac{dx}{u(x) + u^{\prime}(x)} < \infty$,
то и
$\int_{1}^{\infty} \frac{dx}{u(x)} < \infty$.
Решение:
Достаточно доказать, что
$\int_{1}^{\infty} \left ( \frac{1}{u} - \frac{1}{u + u^{\prime}} \right ) dx < \infty$. (1)
Преобразуем подынтегральное выражение:
$\frac{1}{u} - \frac{1}{u + u^{\prime}} = \frac{u^{\prime}}{u(u + u^{\prime})} \leq \frac{u^{\prime}}{u^{2}}$.
Следовательно, интеграл в (1) не превосходит
$\int_{1}^{\infty} \frac{u^{\prime} dx}{u^{2}} = \left. - \frac{1}{u} \right |_{1}^{\infty}$
Так как функция монотонно возрастает, то существует положительный предел $lim_{x \rightarrow \infty} u(x)$ (возможно, бесконечный). Поэтому
$\int_{1}^{\infty} \frac{u^{\prime}dx}{u^{2}} = \frac{1}{u(1)} - \frac{1}{u(\infty)} < \infty (u(\infty)) = lim_{x \rightarrow \infty} u(x))$
откуда и следует (1).
Функция $u(x)$ непрерывно дифференцируема на полуоси $(0, + \infty)$, причем $u > 0,u^{\prime} > 0$. Доказать, что если
$\int_{1}^{\infty} \frac{dx}{u(x) + u^{\prime}(x)} < \infty$,
то и
$\int_{1}^{\infty} \frac{dx}{u(x)} < \infty$.
Решение:
Достаточно доказать, что
$\int_{1}^{\infty} \left ( \frac{1}{u} - \frac{1}{u + u^{\prime}} \right ) dx < \infty$. (1)
Преобразуем подынтегральное выражение:
$\frac{1}{u} - \frac{1}{u + u^{\prime}} = \frac{u^{\prime}}{u(u + u^{\prime})} \leq \frac{u^{\prime}}{u^{2}}$.
Следовательно, интеграл в (1) не превосходит
$\int_{1}^{\infty} \frac{u^{\prime} dx}{u^{2}} = \left. - \frac{1}{u} \right |_{1}^{\infty}$
Так как функция монотонно возрастает, то существует положительный предел $lim_{x \rightarrow \infty} u(x)$ (возможно, бесконечный). Поэтому
$\int_{1}^{\infty} \frac{u^{\prime}dx}{u^{2}} = \frac{1}{u(1)} - \frac{1}{u(\infty)} < \infty (u(\infty)) = lim_{x \rightarrow \infty} u(x))$
откуда и следует (1).
