2021-10-28
Радиусы двух концентрических окружностей относятся как $1:2$. Хорда большей окружности делится меньшей окружностью на три равные части. Найдите отношение этой хорды к диаметру большей окружности.
Решение:
Пусть хорда $AD$ большей окружности с центром $O$ пересекает меньшую окружность в точках $B$ и $C$ ($B$ между $A$ и $C$). Рассмотрим диаметр $PQ$ большей окружности, проходящий через точку $C$ ($C$ между $O$ и $P$). Обозначим $OC=x$, $AB=BC=CD=a$. Тогда
$CD\cdot AC=PC\cdot CQ$, или $a\cdot2a=x\cdot3x,$
откуда $\frac{a}{x}=\sqrt{\frac{3}{2}}$. Следовательно,
$\frac{AD}{PQ}=\frac{3a}{4x}=\frac{3}{4}\cdot\frac{a}{x}=\frac{3}{4}\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{3\sqrt{6}}{8}.$