2021-10-28
Хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $P$. Известно, что $AB=CD=12$, $\angle APC=60^{\circ}$ и $AC=2BD$. Найдите стороны треугольника $BPD$.
Решение:
Обозначим $DP=x$, $BP=y$. Треугольники $DPB$ и $APC$ подобны по двум углам, причём $BD=\frac{1}{2}AC$, поэтому $AP=2x$ и $CP=2y$. Тогда
$x+2y=12,~2x+y=12,$
откуда находим, что $x=y=4$, а т.к.
$\angle BPD=\angle APC=60^{\circ},$
то треугольник $BPD$ - равносторонний. Следовательно, $BD=BP=DP=4$.