2021-10-28
Из точки, расположенной вне окружности на расстоянии $\sqrt{7}$ от центра, проведена секущая, внутренняя часть которой вдвое меньше внешней и равна радиусу окружности. Найдите радиус окружности.
Решение:
Пусть секущая, проведённая из точки $M$, пересекает окружность с центром $O$ в точках $B$ и $C$ ($B$ между $C$ и $M$), а прямая $MO$ пересекает окружность в точках $A$ и $D$ ($A$ между $M$ и $O$). Тогда $MB\cdot MC=MA\cdot MD$ (оба произведения равны квадрату касательной, проведённой к окружности из точки $M$).
Обозначим через $r$ радиус окружности. Тогда
$BC=r,~BM=2r,~MC=3r,~MA=MO-OA=\sqrt{7}-r,~MD=MO+OD=\sqrt{7}+r,$
значит, $2r\cdot3r=(\sqrt{7}-r)(\sqrt{7}+r)$. Из этого уравнения находим, что $r=1$.