Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 610
2014-06-08 
Пусть $f(x)$ - положительная непрерывно дифференцируемая функция на интервале $(0, + \infty)$. Доказать, что
$\int_{0}^{\infty} \frac{\sqrt{1 + (f^{\prime})^{2}}}{f} dx = \infty$.
Решение:
Если функция $f$ ограничена сверху, то подынтегральная функция ограничена снизу положительным числом, и расходимость интеграла очевидна. Пусть $\overline{lim}_{n \rightarrow \infty} f(x) = \infty$, т. е. найдется последовательность $x_{k} \rightarrow \infty$ такая, что $f(x_{k}) \rightarrow \infty$. Имеем
$\int_{0}^{\infty} \frac{\sqrt{1 + (f^{\prime})^{2}}}{f} dx \geq \int_{0}^{x_{k}} \frac{\sqrt{1 + (f^{\prime})^{2}}}{f} dx \geq \int_{0}^{x_{k}} \frac{f^{\prime}}{f} dx = ln f(x_{k}) – ln f(0) \rightarrow \infty$
при $k \rightarrow \infty$, откуда и следует, что
$\int_{0}^{\infty} \frac{\sqrt{1 + (f^{\prime})^{2}}}{f} dx = \infty$.
Пусть $f(x)$ - положительная непрерывно дифференцируемая функция на интервале $(0, + \infty)$. Доказать, что
$\int_{0}^{\infty} \frac{\sqrt{1 + (f^{\prime})^{2}}}{f} dx = \infty$.
Решение:
Если функция $f$ ограничена сверху, то подынтегральная функция ограничена снизу положительным числом, и расходимость интеграла очевидна. Пусть $\overline{lim}_{n \rightarrow \infty} f(x) = \infty$, т. е. найдется последовательность $x_{k} \rightarrow \infty$ такая, что $f(x_{k}) \rightarrow \infty$. Имеем
$\int_{0}^{\infty} \frac{\sqrt{1 + (f^{\prime})^{2}}}{f} dx \geq \int_{0}^{x_{k}} \frac{\sqrt{1 + (f^{\prime})^{2}}}{f} dx \geq \int_{0}^{x_{k}} \frac{f^{\prime}}{f} dx = ln f(x_{k}) – ln f(0) \rightarrow \infty$
при $k \rightarrow \infty$, откуда и следует, что
$\int_{0}^{\infty} \frac{\sqrt{1 + (f^{\prime})^{2}}}{f} dx = \infty$.
