2021-10-28
$AA_{1}$, $BB_{1}$ и $CC_{1}$ - высоты треугольника $ABC$. Докажите, что $AB^{2}_{1}+BC^{2}_{1}+CA^{2}_{1}=AC^{2}_{1}+BA^{2}_{1}+CB^{2}_{1}$.
Решение:
По теореме Пифагора из прямоугольных треугольников $AA_{1}C$ и $AA_{1}B$ находим, что
$AC^{2}-CA^{2}_{1}=AB^{2}-BA^{2}_{1}.$
Аналогично
$AB^{2}-AB^{2}_{1}=BC^{2}-CB^{2}_{1},~BC^{2}-BC^{2}_{1}=AC^{2}-AC^{2}_{1}.$
Сложив почленно эти три равенства, получим, что
$AB^{2}_{1}+BC^{2}_{1}+CA^{2}_{1}=AC^{2}_{1}+BA^{2}_{1}+CB^{2}_{1}.$