2021-10-28
Стороны треугольника равны 1 и 2, а угол между ними равен $120^{\circ}$. Окружность с центром на третьей стороне треугольника касается двух других сторон. Вторая окружность касается этих сторон и первой окружности. Найдите радиусы окружностей.
Решение:
Пусть окружность радиуса $R$ с центром $O$ на стороне $BC$ треугольника $ABC$ касается сторон $AB$ и $AC$ в точках $M$ и $N$ соответственно, причём $AB=1$, $AC=2$ и $\angle BAC=120^{\circ}$. Обозначим через $S$ площадь треугольника $ABC$. Тогда
$S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\sin120^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2},$
$S=\frac{1}{2}AB\cdot R+\frac{1}{2}AC\cdot R=\frac{1}{2}(AB+AC)R=\frac{3}{2}R.$
Из уравнения $\frac{3}{2}R=\frac{\sqrt{3}}{2}$ находим, что $R=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Пусть $Q$ - центр второй окружности радиуса $r$. Точки $O$ и $Q$ лежат на биссектрисе угла $BAC$. Опустим перпендикуляр $QF$ из центра второй окружности на радиус $ON$ первой. В прямоугольном треугольнике $OQF$ известно, что
$OQ=R+r,~OF=R-r,~\angle OQF=60^{\circ}.$
Поэтому $R-r=(R+r)\sin60^{\circ}$. Отсюда находим, что
$r=\frac{(2-\sqrt{3})R}{2+\sqrt{3}}=(7-4\sqrt{3})R=\frac{\sqrt{3}(7-4\sqrt{3})}{3}.$