2021-10-28
Прямые, касающиеся окружности в точках $A$ и $B$, пересекаются в точке $M$, а прямые, касающиеся той же окружности в точках $C$ и $D$, пересекаются в точке $N$, причём $NC\perp MA$ и $ND\perp MB$. Докажите, что $AB\perp CD$ или $AB\parallel CD$.
Решение:
Пусть точки $C$ и $D$ лежат по разные стороны от прямой $AB$. Рассмотрим поворот относительно центра окружности, при котором точка $A$ переходит в точку $C$. Поскольку $NC\perp MA$ и $ND\perp MB$, то прямая $AM$ при этом повороте переходит в прямую $BN$, а прямая $MB$ - в прямую $ND$, а т.к. точка $B$ переходит в точку, лежащую и на окружности, и на прямой $ND$, то точка $B$ переходит в точку $D$. Значит, при этом повороте отрезок $AB$ переходит в отрезок $CD$. Следовательно, $AB\perp CD$.
Если точки $C$ и $D$ лежат по одну сторону от прямой $AB$, то аналогично докажем, что $AB\parallel CD$.