Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 606
2014-06-08 
Пусть $f(x)$ - непрерывная функция на $[0, 1]$, а $\phi(x)$ - непрерывная функция на $(- \infty, + \infty)$, периодическая с периодом $T$. Доказать, что
$lim_{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f(x) \phi(nx) dx = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} \phi(t) dt \int_{0}^{1} f(x) dx$.
Решение:
Будем считать, что число $n$ достаточно большое, в частности $n$ намного больше $T$. Заметим, что функция $\phi(nx)$ имеет период $T_{n} = T/n$. Поэтому интеграл
$\int_{0}^{1}f(x)(nx)dx$ (1)
удобно разбить на слагаемые - интегралы по отрезкам длины $T_{n}$. Для этого отметим на отрезке $[0, 1]$ точки деления $x_{0} = 0, x_{1} = T_{n}, x_{2} = 2T_{n}, \cdots, x_{m} = m T_{n}$, где $m$ - наибольшее целое число такое, что $m T_{n} \leq 1$. Тогда интеграл (1) можно представить в виде
$\int_{0}^{1} f(x) \phi(nx) dx = \sum_{k=0}^{m - 1} \int_{x_{k}}{x_{k+1}} f(x)\phi(nx)dx + \int_{x_{m}}^{1} f(x)\phi(nx)dx$. (2)
Предположим сначала, что функция $\phi(x)$ - положительная. Тогда к каждому слагаемому в (2) можно применить теорему о среднем:
$\int_{x_{k}}^{x_{k+1}} f(x)\phi(nx)dx = f(\xi_{k}) \int_{x_{k}}^{x_{k+1}} \phi(nx) dx$,
где $\xi_{k} \in [x_{k}m x_{k+1}]$. Замечая далее, что
$\int_{x_{k}}^{x_{k+1}} \phi(nx)dx = \frac{1}{n} \int_{nx_{k}}^{nx_{k+1}} \phi(y)dy = \frac{1}{n} \int_{kT}^{(k+1)T} \phi(y)dy = \frac{1}{n} \int_{0}^{T}\phi(y) dy$
и что $\int_{0}^{1}f(x)\phi(nx) dx \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$ (в силу того, что отрезок $[1, x_{m}]$ стягивается в точку, а подынтегральные функции ограничены), получим
$\int_{0}^{1}f(x)\phi(nx)dx = \sum_{k=0}^{m-1}f(\xi_{k}) \frac{1}{n} \int_{0}^{T}\phi(y)dy + o(1) = \frac{1}{T} \int_{0}^{T}\phi(y)dy \times \sum_{k=0}^{m-1} f(\xi_{k})(x_{k+1}-x_{k}) + o(1)$.
Очевидно, при $n \rightarrow \infty$ последнее выражение стремится к
$\frac{1}{T} \int_{0}^{T}\phi(y)dy \cdot \int_{0}^{1}f(x)dx$.
Рассмотрим теперь случай, когда $\phi$ не обязательно положительна. Найдется константа $c$ такая, что $\phi + c \geq 0$. Поэтому по доказанному
$\int_{0}^{1}f(x)(\phi(nx) + c)dx \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} \frac{1}{T_{1}} \int_{0}^{T} \int_{0}^{T} (\phi(y) + c) dy \int_{0}^{1}f(x)dx$.
Вычитая из обоих частей $c \int_{0}f(x)dx$, получим искомое утверждение.
Пусть $f(x)$ - непрерывная функция на $[0, 1]$, а $\phi(x)$ - непрерывная функция на $(- \infty, + \infty)$, периодическая с периодом $T$. Доказать, что
$lim_{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f(x) \phi(nx) dx = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} \phi(t) dt \int_{0}^{1} f(x) dx$.
Решение:
Будем считать, что число $n$ достаточно большое, в частности $n$ намного больше $T$. Заметим, что функция $\phi(nx)$ имеет период $T_{n} = T/n$. Поэтому интеграл
$\int_{0}^{1}f(x)(nx)dx$ (1)
удобно разбить на слагаемые - интегралы по отрезкам длины $T_{n}$. Для этого отметим на отрезке $[0, 1]$ точки деления $x_{0} = 0, x_{1} = T_{n}, x_{2} = 2T_{n}, \cdots, x_{m} = m T_{n}$, где $m$ - наибольшее целое число такое, что $m T_{n} \leq 1$. Тогда интеграл (1) можно представить в виде
$\int_{0}^{1} f(x) \phi(nx) dx = \sum_{k=0}^{m - 1} \int_{x_{k}}{x_{k+1}} f(x)\phi(nx)dx + \int_{x_{m}}^{1} f(x)\phi(nx)dx$. (2)
Предположим сначала, что функция $\phi(x)$ - положительная. Тогда к каждому слагаемому в (2) можно применить теорему о среднем:
$\int_{x_{k}}^{x_{k+1}} f(x)\phi(nx)dx = f(\xi_{k}) \int_{x_{k}}^{x_{k+1}} \phi(nx) dx$,
где $\xi_{k} \in [x_{k}m x_{k+1}]$. Замечая далее, что
$\int_{x_{k}}^{x_{k+1}} \phi(nx)dx = \frac{1}{n} \int_{nx_{k}}^{nx_{k+1}} \phi(y)dy = \frac{1}{n} \int_{kT}^{(k+1)T} \phi(y)dy = \frac{1}{n} \int_{0}^{T}\phi(y) dy$
и что $\int_{0}^{1}f(x)\phi(nx) dx \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$ (в силу того, что отрезок $[1, x_{m}]$ стягивается в точку, а подынтегральные функции ограничены), получим
$\int_{0}^{1}f(x)\phi(nx)dx = \sum_{k=0}^{m-1}f(\xi_{k}) \frac{1}{n} \int_{0}^{T}\phi(y)dy + o(1) = \frac{1}{T} \int_{0}^{T}\phi(y)dy \times \sum_{k=0}^{m-1} f(\xi_{k})(x_{k+1}-x_{k}) + o(1)$.
Очевидно, при $n \rightarrow \infty$ последнее выражение стремится к
$\frac{1}{T} \int_{0}^{T}\phi(y)dy \cdot \int_{0}^{1}f(x)dx$.
Рассмотрим теперь случай, когда $\phi$ не обязательно положительна. Найдется константа $c$ такая, что $\phi + c \geq 0$. Поэтому по доказанному
$\int_{0}^{1}f(x)(\phi(nx) + c)dx \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} \frac{1}{T_{1}} \int_{0}^{T} \int_{0}^{T} (\phi(y) + c) dy \int_{0}^{1}f(x)dx$.
Вычитая из обоих частей $c \int_{0}f(x)dx$, получим искомое утверждение.
