Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 605
2014-06-08 
Доказать, что если функция $f(x)$ положительна, непрерывна и монотонно убывает на отрезке $[a, b]$, то
$\int_{a}^{b} x f(x)^{2} dx \leq \frac{1}{2} \left ( \int_{a}^{b} f(x) dx \right )^{2}$.
Решение:
Заметим, что
$\left ( \int_{a}^{b} f(x)dx \right )^{2} = \int_{a}^{b} f(x)dx \int_{a}^{b}f(y)dy = \int_{Q} \int f(x)f(y)dxdy$,
где $Q$ - квадрат $[a, b] \times [a, b]$. Разобьем квадрат диагональю на два треугольника (рис.), и нижний треугольник (в котором $x > y$) обозначим через $T$. Тогда, очевидно.
$\int_{Q} \int f(x)f(y)dxdy = 2 \int_{Q} \int f(x)f(y)dx dy = 2 \int_{a}^{b} dx \int_{a}^{b}f(x) f(y) dy \geq 2 \int_{a}^{b} dx \int_{a}^{x} f(x)^{2} dy = 2 \int_{a}^{b} (x - a) f(x)^{2} dx$.
Здесь мы воспользовались тем, что при $x \geq y f(y) \geq f(x$).
Доказать, что если функция $f(x)$ положительна, непрерывна и монотонно убывает на отрезке $[a, b]$, то
$\int_{a}^{b} x f(x)^{2} dx \leq \frac{1}{2} \left ( \int_{a}^{b} f(x) dx \right )^{2}$.
Решение:
Заметим, что
$\left ( \int_{a}^{b} f(x)dx \right )^{2} = \int_{a}^{b} f(x)dx \int_{a}^{b}f(y)dy = \int_{Q} \int f(x)f(y)dxdy$,
где $Q$ - квадрат $[a, b] \times [a, b]$. Разобьем квадрат диагональю на два треугольника (рис.), и нижний треугольник (в котором $x > y$) обозначим через $T$. Тогда, очевидно.
$\int_{Q} \int f(x)f(y)dxdy = 2 \int_{Q} \int f(x)f(y)dx dy = 2 \int_{a}^{b} dx \int_{a}^{b}f(x) f(y) dy \geq 2 \int_{a}^{b} dx \int_{a}^{x} f(x)^{2} dy = 2 \int_{a}^{b} (x - a) f(x)^{2} dx$.
Здесь мы воспользовались тем, что при $x \geq y f(y) \geq f(x$).
