Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 603
2014-06-08 
Пусть $f_{1}, \cdots, f_{n}$ - положительные непрерывные функции на отрезке $[0, 1]$, причем $\int_{0}^{1} f_{k}(x) dx = a_{k}, k =1, 2, \cdots, n$. Доказать, что найдется точка $x \in [0, 1]$ такая, что $f_{1}(x)f_{2}(x) \cdots f_{n}(x) \leq a_{1}a_{2} \cdots a_{n}$.
Решение:
Полагая $g_{k}(x) = \frac{f_{k}(x)}{a_{k}}$, имеем $\int_{0}^{1}g_{k}(x) dx = 1$. В силу неравенства Коши между средним арифметическим и средним геометрическим
$\int_{0}^{1} \sqrt{g_{1}g_{2} \cdots g_{n}} dx \leq \int_{0}^{1} \frac{g_{1} + \cdots + g_{n}}{n} dx = 1$.
Следовательно, в некоторой точке $x \sqrt{g_{1}(x) \cdots g_{n}(x)} \leq 1, g_{1}(x) \cdots g_{n}(x) \leq 1$, откуда, переходя к функциям $f_{k}$, получаем $f_{1}(x) \cdots f_{n}(x) \leq a_{1} \cdots a_{n}$.
Пусть $f_{1}, \cdots, f_{n}$ - положительные непрерывные функции на отрезке $[0, 1]$, причем $\int_{0}^{1} f_{k}(x) dx = a_{k}, k =1, 2, \cdots, n$. Доказать, что найдется точка $x \in [0, 1]$ такая, что $f_{1}(x)f_{2}(x) \cdots f_{n}(x) \leq a_{1}a_{2} \cdots a_{n}$.
Решение:
Полагая $g_{k}(x) = \frac{f_{k}(x)}{a_{k}}$, имеем $\int_{0}^{1}g_{k}(x) dx = 1$. В силу неравенства Коши между средним арифметическим и средним геометрическим
$\int_{0}^{1} \sqrt{g_{1}g_{2} \cdots g_{n}} dx \leq \int_{0}^{1} \frac{g_{1} + \cdots + g_{n}}{n} dx = 1$.
Следовательно, в некоторой точке $x \sqrt{g_{1}(x) \cdots g_{n}(x)} \leq 1, g_{1}(x) \cdots g_{n}(x) \leq 1$, откуда, переходя к функциям $f_{k}$, получаем $f_{1}(x) \cdots f_{n}(x) \leq a_{1} \cdots a_{n}$.
