Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 601
2014-06-08 
Пусть функция $f(x)$ интегрируема по Риману на отрезке $[0, 1]$, причем $|f(x) \leq 1$. Доказать неравенство
$\int_{0}^{1} \sqrt{1 – f(x)^{2}} dx \leq \sqrt{1 - \left ( \int_{0}^{1} f(x)dx \right )^{2}}$
Решение:
По неравенству Коши- Буняковского
$( \int_{0}^{1} \sqrt{1 – f(x)^{2}} dx)^{2} \leq \int_{0}^{1}(1 – f(x)^{2}) dx = 1 - \int_{0}^{1}f^{2}(x)dx$.
Опять согласно этому неравенству
$\left ( \int_{0}^{1} f(x)dx \right )^{2} \leq \int_{0}^{1} f^{2}(x) dx$,
откуда
$\left ( \int_{0}^{1} \sqrt{1 – f(x)^{2}} dx \right )^{2} \leq 1 - \left ( \int_{0}^{1} f(x) dx \right )^{2}$,
что и требовалось доказать.
Пусть функция $f(x)$ интегрируема по Риману на отрезке $[0, 1]$, причем $|f(x) \leq 1$. Доказать неравенство
$\int_{0}^{1} \sqrt{1 – f(x)^{2}} dx \leq \sqrt{1 - \left ( \int_{0}^{1} f(x)dx \right )^{2}}$
Решение:
По неравенству Коши- Буняковского
$( \int_{0}^{1} \sqrt{1 – f(x)^{2}} dx)^{2} \leq \int_{0}^{1}(1 – f(x)^{2}) dx = 1 - \int_{0}^{1}f^{2}(x)dx$.
Опять согласно этому неравенству
$\left ( \int_{0}^{1} f(x)dx \right )^{2} \leq \int_{0}^{1} f^{2}(x) dx$,
откуда
$\left ( \int_{0}^{1} \sqrt{1 – f(x)^{2}} dx \right )^{2} \leq 1 - \left ( \int_{0}^{1} f(x) dx \right )^{2}$,
что и требовалось доказать.
