2014-06-08
Доказать, что длина $l$ эллипса с полуосями $a$ и $b$ удовлетворяет неравенству
$\pi(a + b) \leq l \leq \pi \sqrt{a^{2} + b^{2}}$.
Решение:
Эллипс можно задать параметрически формулами
$x = a \cos t, y = b \sin t$,
где $0 \leq t \leq 2 \pi$. Тогда для длины эллипса имеем
$l =\int_{0}^{2 \pi} \sqrt{x^{2} + y^{2}} dt = \int_{0}^{2 \pi} \sqrt{a^{2}\sin^{2} t + b^{2} \cos^{2} t} dt$. (1)
Оценивая интеграл в (1) по неравенству Коши -Буняковского, получим $l^{2} \leq \int_{0}^{2 \pi} \sqrt{ a^{2}\sin^{2} t + b^{2} \cos^{2} t } dt = 2 \pi^{2} (a^{2} + b^{2})$, откуда $l \leq \pi \sqrt{2(a^{2} + b^{2})}$. Для получения оценки снизу воспользуемся следующим вариантом неравенства между средним арифметическим и средним квадратичным:
$\sqrt{a^{2} \tau + b^{2} (1 - \tau)} \geq a \tau + b (1 - \tau)$, (2)
где $\tau \in [0, 1]$. В частности, при $\tau = ½$ получаем обычное неравенство между средним арифметическим и средним квадратичным. Доказывается (2) следующим образом. Замечая, что $a \tau + b (1 - \tau) = (a \sqrt{\tau}) \sqrt{\tau} + (b \sqrt{1 - \tau}) \sqrt{1 - \tau}$, и пользуясь неравенством Коши - Буняковского, получим $(a_{tau} + b(1 - \tau))^{2} \leq (a^{2} \tau + b^{2}(1 - \tau))(\tau + (1 - \tau)) = a^{2} \tau + b^{2} (1 - \tau)$.
Полагая в (2) $t = \sin^{2} t$, из (1) получим
$l \geq \int_{0}^{2 \pi} (a \sin^{2}t + b \cos^{2} t) dt = \pi (a + b)$.