Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 597
2014-06-08 
Вычислить
$\int_{1}^{10} x^{x} dx$
с относительной погрешностью не более 1 % (требуется дать ответ, а не доказательство оценки ошибки; $ln 10 \approx 2,3026$).
Решение:
Первый способ. Замечая, что $(x^{x})^{\prime} = x^{x}(ln x + 1)$, имеем
$\int_{0}^{10} x^{x} (ln x + 1) dx = 10^{10} - 1$. (1)
В интеграле (1) подынтегральная функция быстро возрастает, и основной вклад в интеграл дают точки $x$, близкие к 10. Заменяя медленно изменяющуюся функцию $ln x +1$ на $ln 10 + 1$, найдем
$\int_{0}^{10} x^{x} dx \approx \frac{10^{10}}{ln 10 + 1} \approx 0,30 \cdot 10^{10}$.
Второй способ. Сделаем в интеграле замену $y = 10 – x$. Тогда
$\int_{0}^{10} x^{x} dx = \int_{0}^{9} (10 - y)^{10 - y} dy$. (2)
Функцию $(10 - y)^{10 – y}$ разложим по формуле Тейлора в окрестности точки $y = 0$:
$(10 - y)^{10 - y} = exp ((10 – y) ln (10 - t)) = exp \left [(10 - y) \left ( ln 10 - \frac{y}{10} + O(y^{2}) \right ) \right ] = exp (10 ln 10 – y (1 + ln 10) + O(y^{2})) = 10^{10} \cdot e^{-(1 + ln 10)y + O(y^{2})}$.
Учитывая, что основной вклад в интеграл (2) дают точки $y$, близкие к 0, и отбрасывая $O(y)^{2}$, найдем
$\int_{1}^{10} x^{x}dx \approx \int_{0}^{9} 10^{10} e^{-(1 + ln 10)}y dy = 10^{10} \frac{1 – e^{-9(1 + ln 10)}}{1 + ln 10} \approx \frac{10^{10}}{1 + ln 10}$.
Третий способ. Существует простой универсальный способ получения асимптотики интеграла
$\int_{a}^{x}f(t)dt$
при $x \rightarrow \infty$ для быстро растущих функций $f$. А именно, пусть $f > 0, f^{\prime} > 0, f^{\prime \prime} > 0$ и существует предел
$c = lim_{x \rightarrow \infty} \frac{ff^{\prime \prime}}{(f^{\prime})^{2}}$.
Тогда
$\int_{a}^{x} f(t) dt \sim \frac{1}{2 - c} \frac{f^{2}(x)}{f^{\prime}(x)}$ (3)
при $x \rightarrow \infty$. Например, при $f(x) = x^{x}$ находим $c = (n - 1)/n$,
Доказательство (3) легко проводится с помощью правила Лопиталя. Для функции $f(x) = x^{x}$ находим $c = 1$, откуда
$\int_{a}^{x} t^{t}dt \sim \frac{x^{x}}{ln x + 1} (x \rightarrow \infty)$.
В частности,
$\int_{0}^{10} x^{x} dx \approx \frac{10^{10}}{ln 10 + 1}$.
Ответ: $\int_{1}^{10} x^{x} dx \approx 0,30 \cdot 10^{10}$.
Вычислить
$\int_{1}^{10} x^{x} dx$
с относительной погрешностью не более 1 % (требуется дать ответ, а не доказательство оценки ошибки; $ln 10 \approx 2,3026$).
Решение:
Первый способ. Замечая, что $(x^{x})^{\prime} = x^{x}(ln x + 1)$, имеем
$\int_{0}^{10} x^{x} (ln x + 1) dx = 10^{10} - 1$. (1)
В интеграле (1) подынтегральная функция быстро возрастает, и основной вклад в интеграл дают точки $x$, близкие к 10. Заменяя медленно изменяющуюся функцию $ln x +1$ на $ln 10 + 1$, найдем
$\int_{0}^{10} x^{x} dx \approx \frac{10^{10}}{ln 10 + 1} \approx 0,30 \cdot 10^{10}$.
Второй способ. Сделаем в интеграле замену $y = 10 – x$. Тогда
$\int_{0}^{10} x^{x} dx = \int_{0}^{9} (10 - y)^{10 - y} dy$. (2)
Функцию $(10 - y)^{10 – y}$ разложим по формуле Тейлора в окрестности точки $y = 0$:
$(10 - y)^{10 - y} = exp ((10 – y) ln (10 - t)) = exp \left [(10 - y) \left ( ln 10 - \frac{y}{10} + O(y^{2}) \right ) \right ] = exp (10 ln 10 – y (1 + ln 10) + O(y^{2})) = 10^{10} \cdot e^{-(1 + ln 10)y + O(y^{2})}$.
Учитывая, что основной вклад в интеграл (2) дают точки $y$, близкие к 0, и отбрасывая $O(y)^{2}$, найдем
$\int_{1}^{10} x^{x}dx \approx \int_{0}^{9} 10^{10} e^{-(1 + ln 10)}y dy = 10^{10} \frac{1 – e^{-9(1 + ln 10)}}{1 + ln 10} \approx \frac{10^{10}}{1 + ln 10}$.
Третий способ. Существует простой универсальный способ получения асимптотики интеграла
$\int_{a}^{x}f(t)dt$
при $x \rightarrow \infty$ для быстро растущих функций $f$. А именно, пусть $f > 0, f^{\prime} > 0, f^{\prime \prime} > 0$ и существует предел
$c = lim_{x \rightarrow \infty} \frac{ff^{\prime \prime}}{(f^{\prime})^{2}}$.
Тогда
$\int_{a}^{x} f(t) dt \sim \frac{1}{2 - c} \frac{f^{2}(x)}{f^{\prime}(x)}$ (3)
при $x \rightarrow \infty$. Например, при $f(x) = x^{x}$ находим $c = (n - 1)/n$,
Доказательство (3) легко проводится с помощью правила Лопиталя. Для функции $f(x) = x^{x}$ находим $c = 1$, откуда
$\int_{a}^{x} t^{t}dt \sim \frac{x^{x}}{ln x + 1} (x \rightarrow \infty)$.
В частности,
$\int_{0}^{10} x^{x} dx \approx \frac{10^{10}}{ln 10 + 1}$.
Ответ: $\int_{1}^{10} x^{x} dx \approx 0,30 \cdot 10^{10}$.
