Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 596
2014-06-08 
Найти интеграл
$\int_{0}^{1} e^{x} \frac{\sin x}{x} dx$
С ошибкой не больше 0,2.
Решение:
При $x \in (0, \pi/2]$ функция $\sin x/x$ монотонно убывает, поэтому при $0 < x \leq 1 1 \geq \frac{\sin x}{x} \geq \frac{\sin 1}{1} \geq \frac{\sin \frac{\pi}{3}}{\frac{\pi}{3}}$. Так как
$\frac{\sin \frac{\pi}{3}}{\pi/3} = \frac{\sqrt{3}}{2} / \frac{\pi}{3} > 0,8$, то $1 \geq \frac{\sin x}{x} \geq 0,8$.
Поэтому, учитывая, что $\int_{0}^{1} e^{x} dx = e – 1 \approx 1,72$, получим
$1,72 \geq \int_{0}^{1} e^{x} dx \geq \int_{0}^{1} e^{x} \frac{\sin x}{x} dx \geq 0,8 \int_{0}^{1} e^{x} dx \geq 0,8 \cdot 1,7 = 1,36$.
Следовательно,
$\int_{0}^{1} e^{x} \frac{\sin x}{x} dx \approx \frac{1,72 + 1,36}{2} = 1,54$
с ошибкой не больше, чем $(1,72 - 1,36)/2 = 0,18$.
Найти интеграл
$\int_{0}^{1} e^{x} \frac{\sin x}{x} dx$
С ошибкой не больше 0,2.
Решение:
При $x \in (0, \pi/2]$ функция $\sin x/x$ монотонно убывает, поэтому при $0 < x \leq 1 1 \geq \frac{\sin x}{x} \geq \frac{\sin 1}{1} \geq \frac{\sin \frac{\pi}{3}}{\frac{\pi}{3}}$. Так как
$\frac{\sin \frac{\pi}{3}}{\pi/3} = \frac{\sqrt{3}}{2} / \frac{\pi}{3} > 0,8$, то $1 \geq \frac{\sin x}{x} \geq 0,8$.
Поэтому, учитывая, что $\int_{0}^{1} e^{x} dx = e – 1 \approx 1,72$, получим
$1,72 \geq \int_{0}^{1} e^{x} dx \geq \int_{0}^{1} e^{x} \frac{\sin x}{x} dx \geq 0,8 \int_{0}^{1} e^{x} dx \geq 0,8 \cdot 1,7 = 1,36$.
Следовательно,
$\int_{0}^{1} e^{x} \frac{\sin x}{x} dx \approx \frac{1,72 + 1,36}{2} = 1,54$
с ошибкой не больше, чем $(1,72 - 1,36)/2 = 0,18$.
