Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 595
2014-06-08 
Пусть $a < b < c < d$ и $p(x) = (x - a)(x - b)(x - c) \times (x - d)$. Доказать, что
$\int_{a}^{b} \frac{dx}{\sqrt{|p(x)|}} = \int_{c}^{d} \frac{dx}{\sqrt{|p(x)|}}$
(при одинаковых энергиях периоды колебаний в обеих потенциальных ямах $p(x)$ равны).
Решение:
Идея доказательства состоит в том, чтобы сделать в интеграле
$\int_{a}^{b} \frac{dx}{\sqrt{|(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)|}}$ (1)
замену переменного, переводящую точки $a, b, c, d$ соответственно в точки $d, c, b, a$, а интеграл (1) - в интеграл
$\int_{c}^{d} \frac{dx}{\sqrt{|(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)|}}$.
Если $a + d = b + c$, то такая замена очевидна: $y = a + d – x$. Если $ad = bc$, то сделаем в (1) замену $y = F/x$, где $F = ad$. Имеем
$\int_{a}^{b} \frac{dx}{\sqrt{|(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)|}} = - \int_{d}^{c} \frac{Fdy}{y^{2} \sqrt{\left | \left (\frac{F}{y} - a \right ) \left (\frac{F}{y} - b \right ) \left (\frac{F}{y} - c \right ) \left ( \frac{F}{y} - d \right ) \right |}} = \int_{c}^{d} \frac{Fdy}{\sqrt{|(F - ay)( F - by)( F - cy)( F - dy)|}} = \int_{c}^{d} \frac{Fdy}{\sqrt{|abcd(d - y)(c - y)(b - y)(a - y)|}} = \int_{c}^{d} \frac{dy}{\sqrt{|y - a)(y - b)(y - c)(y - d)|}}$.
Здесь мы воспользовались тем, что в случае выполнения равенства $ad = bc$ точка 0 не лежит в промежутке $[a, d]$ (действительно, в противном случае имеем $0 \geq ad = bc$, откуда $b \leq 0 \leq c$, т. е. $a < b \leq 0 \leq c< d$, так что $|ad| > |bc|$). Поэтому замена $y = F/x$ переводит отрезок $[a, b]$ в отрезок $[d, c]$ (а не во внешность). Кроме того, $F=ad > 0$, откуда следует $F = \sqrt{abcd}$, чем мы также воспользовались.
Общий случай расположения точек $a, b, c, d$ сводится к рассмотренным. Действительно, если $a + d \neq b + c$, то найдется число $t$ такое, что $(a + t)(d + t) = (b + t)(c + t)$ (a именно $t = \frac{bc - ad}{a + d – (b+c)}$). Заменой $y = x + t$ задача сводится к случаю $ad = bc$.
Пусть $a < b < c < d$ и $p(x) = (x - a)(x - b)(x - c) \times (x - d)$. Доказать, что
$\int_{a}^{b} \frac{dx}{\sqrt{|p(x)|}} = \int_{c}^{d} \frac{dx}{\sqrt{|p(x)|}}$
(при одинаковых энергиях периоды колебаний в обеих потенциальных ямах $p(x)$ равны).
Решение:
Идея доказательства состоит в том, чтобы сделать в интеграле
$\int_{a}^{b} \frac{dx}{\sqrt{|(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)|}}$ (1)
замену переменного, переводящую точки $a, b, c, d$ соответственно в точки $d, c, b, a$, а интеграл (1) - в интеграл
$\int_{c}^{d} \frac{dx}{\sqrt{|(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)|}}$.
Если $a + d = b + c$, то такая замена очевидна: $y = a + d – x$. Если $ad = bc$, то сделаем в (1) замену $y = F/x$, где $F = ad$. Имеем
$\int_{a}^{b} \frac{dx}{\sqrt{|(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)|}} = - \int_{d}^{c} \frac{Fdy}{y^{2} \sqrt{\left | \left (\frac{F}{y} - a \right ) \left (\frac{F}{y} - b \right ) \left (\frac{F}{y} - c \right ) \left ( \frac{F}{y} - d \right ) \right |}} = \int_{c}^{d} \frac{Fdy}{\sqrt{|(F - ay)( F - by)( F - cy)( F - dy)|}} = \int_{c}^{d} \frac{Fdy}{\sqrt{|abcd(d - y)(c - y)(b - y)(a - y)|}} = \int_{c}^{d} \frac{dy}{\sqrt{|y - a)(y - b)(y - c)(y - d)|}}$.
Здесь мы воспользовались тем, что в случае выполнения равенства $ad = bc$ точка 0 не лежит в промежутке $[a, d]$ (действительно, в противном случае имеем $0 \geq ad = bc$, откуда $b \leq 0 \leq c$, т. е. $a < b \leq 0 \leq c< d$, так что $|ad| > |bc|$). Поэтому замена $y = F/x$ переводит отрезок $[a, b]$ в отрезок $[d, c]$ (а не во внешность). Кроме того, $F=ad > 0$, откуда следует $F = \sqrt{abcd}$, чем мы также воспользовались.
Общий случай расположения точек $a, b, c, d$ сводится к рассмотренным. Действительно, если $a + d \neq b + c$, то найдется число $t$ такое, что $(a + t)(d + t) = (b + t)(c + t)$ (a именно $t = \frac{bc - ad}{a + d – (b+c)}$). Заменой $y = x + t$ задача сводится к случаю $ad = bc$.
