Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 594
2014-06-08 
Найти интеграл
$\int_{-1}^{1} \frac{dx}{(e^{x} + 1)(x^{2} + 1)}$
Решение:
Разобьем данный интеграл на два слагаемых: первое - интеграл по отрезку [0, 1], а второе - по [- 1,0]. Сделав во втором интеграле замену $x \rightarrow – x$, получим
$\int_{-1}^{1} \frac{dx}{(e^{x} + 1)(x^{2} + 1)} = \int_{0}^{1} \frac{dx}{(e^{x} + 1)(x^{2} + 1)} + \int_{0}^{1} \frac{dx}{(e^{-x} + 1)(x^{2} + 1)} = \int_{0}^{1} \left ( \frac{1}{e^{x} + 1} + \frac{1}{e^{-x} + 1} \right ) \frac{dx}{x^{2} + 1} = \int_{0}^{1} \frac{dx}{x^{2} + 1} = arctg \: x |_{0}^{1} = \frac{\pi}{4}$.
Здесь мы воспользовались очевидным тождеством
$\frac{1}{e^{x} + 1} + \frac{1}{e^{-x} + 1} = 1$.
Ответ: данный интеграл равен $\pi /4$.
Найти интеграл
$\int_{-1}^{1} \frac{dx}{(e^{x} + 1)(x^{2} + 1)}$
Решение:
Разобьем данный интеграл на два слагаемых: первое - интеграл по отрезку [0, 1], а второе - по [- 1,0]. Сделав во втором интеграле замену $x \rightarrow – x$, получим
$\int_{-1}^{1} \frac{dx}{(e^{x} + 1)(x^{2} + 1)} = \int_{0}^{1} \frac{dx}{(e^{x} + 1)(x^{2} + 1)} + \int_{0}^{1} \frac{dx}{(e^{-x} + 1)(x^{2} + 1)} = \int_{0}^{1} \left ( \frac{1}{e^{x} + 1} + \frac{1}{e^{-x} + 1} \right ) \frac{dx}{x^{2} + 1} = \int_{0}^{1} \frac{dx}{x^{2} + 1} = arctg \: x |_{0}^{1} = \frac{\pi}{4}$.
Здесь мы воспользовались очевидным тождеством
$\frac{1}{e^{x} + 1} + \frac{1}{e^{-x} + 1} = 1$.
Ответ: данный интеграл равен $\pi /4$.
