2014-06-08
Вычислить предел
$lim_{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\pi} \cos x^{n} dx$.
Решение:
Так как при $0 \leq x < 1$ последовательность функций $\{ x^{n} \}$ монотонно стремится к нулю при $n \rightarrow \infty$, то
$lim_{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \cos x^{n} dx = 1$.
Найдем теперь $lim_{n \rightarrow \infty} \int_{1}^{\pi} \cos x^{n} dx $. Для этого в интеграле сделаем замену $x^{n} = y$. Имеем
$\int_{1}^{\pi} \cos x^{n} dx = \frac{1}{n} \int_{1}^{\pi^{2}} \cos y \frac{dy}{y^{1 – 1/n}} = \frac{1}{n} \int_{1}^{\pi^{n}} \frac{d \sin y}{y^{1 – 1/n}} = \left. \frac{\sin y}{ny^{1-1/n}} \right|_{1}^{\pi^{n}} + \frac{n-1}{n^{2}} \int_{1}^{\pi^{n}} \sin y \frac{dy}{y^{2 – 1/n}} $.
Легко видеть, что при $n \rightarrow \infty$ внеинтегральные члены стремятся к нулю, а интеграл оценивается так:
$\left | \frac{n-1}{n^{2}} \int_{1}^{\pi^{n}} \sin y \frac{dy}{y^{2 – 1/n}} \right | \leq \frac{n-1}{n^{2}} \int_{1}^{\infty} \frac{dy}{y^{1,5}} = \frac{2(n-1)}{n^{2}} \rightarrow 0$
Следовательно, $lim_{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\pi^{n}} \cos x^{n} dx = 0$.
Ответ: $lim_{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\pi} \cos x^{n} dx = 1$.