2014-06-08
Проверить, что при $x >0$ уравнение $z^{3} + xz = 8$ определяет единственную функцию $z(x)$ (с действительными значениями), и найти
$\int_{0}^{7}z^{2} dx$
Решение:
Функция $\phi(z) = z^{3} + xz$, как нетрудно убедиться, строго монотонно возрастает при $x \geq 0$, а так как $\phi(0) = 0, \phi( + \infty) = \infty$, то существует единственное решение $z(x)$ уравнения
$z^{3} + xz = 8$, (1)
причем $z(x) > 0$. Так как $\phi^{\prime}(z) = 3z^{2} + x >0$, то по теореме о неявной функции $z(x)$ непрерывно дифференцируема. Из (1) находим $3z^{2}z^{\prime} + z + xz^{\prime} = 0, z^{\prime} = - z/(3z^{2} + x)$. Тем самым функция $z(x)$ строго монотонно убывает, и у нее есть обратная функция $x(z)$. Замечая, что $z(0) = 2, z(7) = 1$, сделаем в интеграле
$\int_{0}^{7} z^{2}(x)dx$
замену переменного, взяв за новую переменную $z$. Тогда
$\int_{0}^{7} z^{2} dx = \int_{2}^{1} z^{2}x^{\prime} dz = \int_{2}^{1} \frac{z^{2}}{z^{\prime}(x)} dz = - \int_{1}^{2} \left ( \frac{3z^{2} + x}{z} \right ) z^{2}dz = \int_{1}^{2} (3z^{3} + xz) dz$.
Из (1) находим $xz = 8 – z^{3}$, так что
$\int_{0}^{7} z^{2} dx = \int_{1}^{2} (8 + 2z^{3}) dz = \frac{31}{2}$.