Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 586
2014-06-08 
Доказать, что если Функция $f(x)$ бесконечно дифференцируема на $\mathbf{R}$, то функция $\frac{f(x) – f(0)}{x}$, доопределенная по непрерывности в нуле, также будет бесконечно дифференцируемой.
Решение:
При $x neq 0$ имеем
$f(x) – f(0) = \int_{0}^{x}f^{\prime}(y)dy = \int_{0}^{1} f^{\prime}(tx)xdt$,
откуда
$\frac{f(x) – f(0)}{x} = \int_{0}^{1}f^{\prime}(tx)dt$.
Очевидно, интеграл в правой части является бесконечно дифференцируемой функцией $x$ при любом действительном $x$. Следовательно, функция $\frac{f(x) – f(0)}{x}$ (определенная первоначально при $x \neq 0$, доопределяется до бесконечно дифференцируемой при всех $x$ функции.
Доказать, что если Функция $f(x)$ бесконечно дифференцируема на $\mathbf{R}$, то функция $\frac{f(x) – f(0)}{x}$, доопределенная по непрерывности в нуле, также будет бесконечно дифференцируемой.
Решение:
При $x neq 0$ имеем
$f(x) – f(0) = \int_{0}^{x}f^{\prime}(y)dy = \int_{0}^{1} f^{\prime}(tx)xdt$,
откуда
$\frac{f(x) – f(0)}{x} = \int_{0}^{1}f^{\prime}(tx)dt$.
Очевидно, интеграл в правой части является бесконечно дифференцируемой функцией $x$ при любом действительном $x$. Следовательно, функция $\frac{f(x) – f(0)}{x}$ (определенная первоначально при $x \neq 0$, доопределяется до бесконечно дифференцируемой при всех $x$ функции.
