Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 584
2014-06-08 
Пусть $p(x)$ - действительная аналитическая функция и $0 < \prod_{n=0}^{\infty} p^{(n)} (0) < \infty$. Найти $lim_{x \rightarrow \infty} \frac{p^{\prime}(x)}{p(x)}$.
Решение:
По условию задачи $lim_{n \rightarrow} p^{(n)}(0) = 1$ и, стало быть, для любого $\varepsilon > 0$ существует такое число $n_{0}$, что при $n > n_{0}$ справедливы неравенства
$1 - \varepsilon < p^{(n+1)}(0)/p^{(n)}(0) < 1 + \varepsilon$.
Аналитические функции $p(x)$ и $p^{\prime}(x)$ разлагаются в степенные ряды?
$p(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{p^{(n)}(0)x^{n}}{n!}$,
$p^{\prime}(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{p^{(n+1)}(0)x^{n}}{n!}$.
В силу ограниченности $\{p^{(n)}(0)\}$ эти ряды сходятся на всей числовой прямой.
При $x \rightarrow \infty$ имеем
$\sum_{n=0}^{n_{0}} \frac{p^{(n)}(0)x^{n}}{n!} = o(x^{n_{0}+1}) = o \left ( \frac{p^{(n_{0} + 1)}(0)x^{n_{0}+1}}{(n_{0}+1)!} \right ) = o \left ( \sum_{n = n_{0} + 1}^{\infty} \frac{p^{(n)}(0)x^{n}}{n!} \right )$
(последнее равенство следует из того, что числа $p^{n_{0}+1}(0), p^{n_{0} + 2}(0), \cdots $ имеют одинаковый знак). Значит, $p(x) > 0$ при достаточно больших $x$ и
$lim_{x \rightarrow \infty} \frac{p(x)}{\sum_{n = n_{0} + 1}^{\infty} \frac{p^{(n)}(0)x^{n}}{n!}} = 1$.
Аналогично,
$lim_{x \rightarrow \infty} \frac{p^{\prime}(x)}{\sum_{n = n_{0} + 1}^{\infty} \frac{p^{(n+1)}(0)x^{n}}{n!}} = 1$.
Отсюда следует, что
$\overline{lim}_{x \rightarrow \infty} \frac{p^{\prime}(x)}{p(x)} = \overline{lim}_{x \rightarrow \infty} \sum_{n = n_{0} + 1}^{\infty} \frac{p^{(n+1)(0)x^{n}}}{n!} \left ( \sum_{n = n_{0} + 1}^{\infty} \frac{p^{(n)}(0)x^{n}}{n!} \right )^{-1} \leq \overline{lim}_{x \rightarrow \infty} \sum_{n = n_{0} + 1}^{\infty} \frac{(1 + \varepsilon) p^{(n)}(0)x^{n}}{n!} \left ( \sum_{n = n_{0} + 1}^{\infty} \frac{p^{(n)}(0)x^{n}}{n!} \right )^{-1} = 1 + \varepsilon$.
Аналогично, $lim_{\overline{x \rightarrow \infty}} \frac{p^{\prime}(x)}{p(x)} \geq 1 - \varepsilon$. Так как $\varepsilon > 0$ произвольно, то
$1 \leq lim_{\overline{x \rightarrow \infty}} \frac{p^{\prime}(x)}{p(x)} \leq \overline{lim}_{x \rightarrow \infty} \frac{p^{\prime}(x)}{p(x)} \leq 1$,
или $lim_{x \rightarrow \infty} \frac{p^{\prime}(x)}{p(x)} = 1$
Пусть $p(x)$ - действительная аналитическая функция и $0 < \prod_{n=0}^{\infty} p^{(n)} (0) < \infty$. Найти $lim_{x \rightarrow \infty} \frac{p^{\prime}(x)}{p(x)}$.
Решение:
По условию задачи $lim_{n \rightarrow} p^{(n)}(0) = 1$ и, стало быть, для любого $\varepsilon > 0$ существует такое число $n_{0}$, что при $n > n_{0}$ справедливы неравенства
$1 - \varepsilon < p^{(n+1)}(0)/p^{(n)}(0) < 1 + \varepsilon$.
Аналитические функции $p(x)$ и $p^{\prime}(x)$ разлагаются в степенные ряды?
$p(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{p^{(n)}(0)x^{n}}{n!}$,
$p^{\prime}(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{p^{(n+1)}(0)x^{n}}{n!}$.
В силу ограниченности $\{p^{(n)}(0)\}$ эти ряды сходятся на всей числовой прямой.
При $x \rightarrow \infty$ имеем
$\sum_{n=0}^{n_{0}} \frac{p^{(n)}(0)x^{n}}{n!} = o(x^{n_{0}+1}) = o \left ( \frac{p^{(n_{0} + 1)}(0)x^{n_{0}+1}}{(n_{0}+1)!} \right ) = o \left ( \sum_{n = n_{0} + 1}^{\infty} \frac{p^{(n)}(0)x^{n}}{n!} \right )$
(последнее равенство следует из того, что числа $p^{n_{0}+1}(0), p^{n_{0} + 2}(0), \cdots $ имеют одинаковый знак). Значит, $p(x) > 0$ при достаточно больших $x$ и
$lim_{x \rightarrow \infty} \frac{p(x)}{\sum_{n = n_{0} + 1}^{\infty} \frac{p^{(n)}(0)x^{n}}{n!}} = 1$.
Аналогично,
$lim_{x \rightarrow \infty} \frac{p^{\prime}(x)}{\sum_{n = n_{0} + 1}^{\infty} \frac{p^{(n+1)}(0)x^{n}}{n!}} = 1$.
Отсюда следует, что
$\overline{lim}_{x \rightarrow \infty} \frac{p^{\prime}(x)}{p(x)} = \overline{lim}_{x \rightarrow \infty} \sum_{n = n_{0} + 1}^{\infty} \frac{p^{(n+1)(0)x^{n}}}{n!} \left ( \sum_{n = n_{0} + 1}^{\infty} \frac{p^{(n)}(0)x^{n}}{n!} \right )^{-1} \leq \overline{lim}_{x \rightarrow \infty} \sum_{n = n_{0} + 1}^{\infty} \frac{(1 + \varepsilon) p^{(n)}(0)x^{n}}{n!} \left ( \sum_{n = n_{0} + 1}^{\infty} \frac{p^{(n)}(0)x^{n}}{n!} \right )^{-1} = 1 + \varepsilon$.
Аналогично, $lim_{\overline{x \rightarrow \infty}} \frac{p^{\prime}(x)}{p(x)} \geq 1 - \varepsilon$. Так как $\varepsilon > 0$ произвольно, то
$1 \leq lim_{\overline{x \rightarrow \infty}} \frac{p^{\prime}(x)}{p(x)} \leq \overline{lim}_{x \rightarrow \infty} \frac{p^{\prime}(x)}{p(x)} \leq 1$,
или $lim_{x \rightarrow \infty} \frac{p^{\prime}(x)}{p(x)} = 1$
