Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 583
2014-06-08 
Функция $\phi(x)$ дважды дифференцируема на полуоси $[0, + \infty)$. Известно, что $\phi > 0, \phi^{\prime}(x) > 0$ и $\frac{\phi(x)\phi^{\prime \prime}(x)}{(\phi^{\prime}(x))^{2}} \leq 2$
для всех $x \in [0, + \infty)$. Доказать, что $lim_{x \rightarrow + infty} \frac{\phi^{\prime}(x)}{(\phi(x))^{2}} = 0$.
Решение:
Обозначим $f(x) = 1/ \phi(x)$. Имеем
$f^{\prime}(x) = - \frac{\phi^{\prime}(x)}{\phi^{2}(x)}, f^{\prime \prime} (x) = \frac{2(\phi^{\prime}(x))^{2} - \phi(x) \phi^{\prime \prime} (x)}{(\phi(x))^{3}}$
откуда $f(x) > 0, f^{\prime}(x) < 0$,
$\frac{f^{\prime \prime}(x)f(x)}{(f^{\prime}(x))^{2}} = 2 - \frac{\phi^{\prime \prime} \phi(x)}{(\phi^{\prime}(x))^{2}} \geq 0$,
т. е. $f^{\prime \prime}(x) \geq 0$ при $x \geq 0$.
Нам нужно доказать, что $lim_{x \rightarrow \infty} = 0$. Так как $f^{\prime}(x) < 0$ при $x \geq 0$ и $f^{\prime}$ монотонно не убывает на $[0, \infty)$, то существует предел $lim_{x \rightarrow \infty} f^{\prime}(x) = c \leq 0$.
Если $c < 0$, то $f^{\prime}(x) \leq x, f(x) \leq cx + f(0)$ при всех $x \geq 0$, что невозможно ввиду положительности $f$ на $[0, \infty)$. Значит, $c = 0$ и $lim_{x \rightarrow \infty} \phi^{\prime} (x) / (\phi(x))^{2} = 0$.
Функция $\phi(x)$ дважды дифференцируема на полуоси $[0, + \infty)$. Известно, что $\phi > 0, \phi^{\prime}(x) > 0$ и $\frac{\phi(x)\phi^{\prime \prime}(x)}{(\phi^{\prime}(x))^{2}} \leq 2$
для всех $x \in [0, + \infty)$. Доказать, что $lim_{x \rightarrow + infty} \frac{\phi^{\prime}(x)}{(\phi(x))^{2}} = 0$.
Решение:
Обозначим $f(x) = 1/ \phi(x)$. Имеем
$f^{\prime}(x) = - \frac{\phi^{\prime}(x)}{\phi^{2}(x)}, f^{\prime \prime} (x) = \frac{2(\phi^{\prime}(x))^{2} - \phi(x) \phi^{\prime \prime} (x)}{(\phi(x))^{3}}$
откуда $f(x) > 0, f^{\prime}(x) < 0$,
$\frac{f^{\prime \prime}(x)f(x)}{(f^{\prime}(x))^{2}} = 2 - \frac{\phi^{\prime \prime} \phi(x)}{(\phi^{\prime}(x))^{2}} \geq 0$,
т. е. $f^{\prime \prime}(x) \geq 0$ при $x \geq 0$.
Нам нужно доказать, что $lim_{x \rightarrow \infty} = 0$. Так как $f^{\prime}(x) < 0$ при $x \geq 0$ и $f^{\prime}$ монотонно не убывает на $[0, \infty)$, то существует предел $lim_{x \rightarrow \infty} f^{\prime}(x) = c \leq 0$.
Если $c < 0$, то $f^{\prime}(x) \leq x, f(x) \leq cx + f(0)$ при всех $x \geq 0$, что невозможно ввиду положительности $f$ на $[0, \infty)$. Значит, $c = 0$ и $lim_{x \rightarrow \infty} \phi^{\prime} (x) / (\phi(x))^{2} = 0$.
