Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 581
2014-06-08 
Квадратный трехчлен $ax^{2} + bx + c$ принимает только положительные значения. Доказать, что $lim_{x \rightarrow \infty} x^{2} \frac{d}{dx^{2}} \sqrt{ax^{2} + bx + c} = 0$.
Решение:
Имеем
$\frac{d}{dx} (\sqrt{ax^{2} + bx + x}) = \frac{ax + \frac{1}{2}b}{\sqrt{ax^{2} + bx + c}}$,
$\frac{d^{2}}{dx^{2}} (\sqrt{ax^{2} + bx + c}) = \left ( a \sqrt{ax^{2} + bx + c} – (ax - \frac{1}{2} b \frac{ax + \frac{1}{2}B}{\sqrt{ax^{2} + bx + c}})\right ) / (ax^{2} + bx + c) = \frac{ac – b^{2}/4}{(ax^{2} + bx + c)^{3/2}}$
откуда следует, что
$lim_{x \rightarrow \infty} x^{2} \frac{d^{2}}{dx^{2}} \sqrt{ax^{2} + bx + c} = \left ( ac - \frac{b^{2}}{4} \right ) \sqrt{lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{4}}{(ax^{2} + bx + c)^{3}}} = 0$
Квадратный трехчлен $ax^{2} + bx + c$ принимает только положительные значения. Доказать, что $lim_{x \rightarrow \infty} x^{2} \frac{d}{dx^{2}} \sqrt{ax^{2} + bx + c} = 0$.
Решение:
Имеем
$\frac{d}{dx} (\sqrt{ax^{2} + bx + x}) = \frac{ax + \frac{1}{2}b}{\sqrt{ax^{2} + bx + c}}$,
$\frac{d^{2}}{dx^{2}} (\sqrt{ax^{2} + bx + c}) = \left ( a \sqrt{ax^{2} + bx + c} – (ax - \frac{1}{2} b \frac{ax + \frac{1}{2}B}{\sqrt{ax^{2} + bx + c}})\right ) / (ax^{2} + bx + c) = \frac{ac – b^{2}/4}{(ax^{2} + bx + c)^{3/2}}$
откуда следует, что
$lim_{x \rightarrow \infty} x^{2} \frac{d^{2}}{dx^{2}} \sqrt{ax^{2} + bx + c} = \left ( ac - \frac{b^{2}}{4} \right ) \sqrt{lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{4}}{(ax^{2} + bx + c)^{3}}} = 0$
