Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 580
2014-06-08 
Функция $f(x)$ трижды дифференцируема на $\mathbf{R}$. При этом функции $f(x), f^{\prime}(x), f^{\prime \prime}(x), f^{\prime \prime \prime} (x)$ всюду положительны. Доказать, что существует такое положительное число $a$, что $f(x) > ax^{2}$ при любом $x > 0$.
Решение:
По формуле Тейлора при $x > 0$
$f(x) = f(0) + f^{\prime}(0)x + \frac{f^{\prime \prime}(x)x^{2}}{2} + \frac{f^{\prime \prime \prime}( \theta) x^{3}}{6} $,
где $0 < \theta < x$. Следовательно,
$f(x) > f(0) + f^{\prime}(0) x + \frac{f^{\prime \prime}(0)x^{2}}{2} > ax^{2}$,
где $a = f^{\prime \prime}(0)/2$.
Функция $f(x)$ трижды дифференцируема на $\mathbf{R}$. При этом функции $f(x), f^{\prime}(x), f^{\prime \prime}(x), f^{\prime \prime \prime} (x)$ всюду положительны. Доказать, что существует такое положительное число $a$, что $f(x) > ax^{2}$ при любом $x > 0$.
Решение:
По формуле Тейлора при $x > 0$
$f(x) = f(0) + f^{\prime}(0)x + \frac{f^{\prime \prime}(x)x^{2}}{2} + \frac{f^{\prime \prime \prime}( \theta) x^{3}}{6} $,
где $0 < \theta < x$. Следовательно,
$f(x) > f(0) + f^{\prime}(0) x + \frac{f^{\prime \prime}(0)x^{2}}{2} > ax^{2}$,
где $a = f^{\prime \prime}(0)/2$.
